Задача 63215 ...

620aa03952510b56cb2bb445

14 февраля 2022 г. в 21:37

Вычислить двойной интеграл в области D

3. ∬_D e^2·(x+y) dx dy

D: {x ∈ [0,1] y ∈ [0,1]}

exponenta

14 февраля 2022 г. в 22:57

★

[m] ∫∫ e^2(x+y)dxdy= ∫ ₀¹(∫ ₀¹e^2x\cdot e^2ydy)dx=

считаем внутренний интеграл

∫ ₀¹e^2x\cdot e^2ydydx=e^2x ∫ e^2y·(1/2)d(2y)=(1/2)e^2x(e^2y)|¹₀=

=(1/2)e^2x(e^2·1–e⁰)=(1/2)e^2x(e²–1)

тогда
∫ ₀¹(∫ ₀¹e^2x\cdot e^2ydy)dx= ∫ ₀¹(1/2)e^2x(e²–1)dx=


=((e²–1)/2)·∫ ₀¹e^2xdx=[замена t=2x; x=t/2; dx=(1/2)dt]=

=((e²–1)/2)·∫ ₀¹[blue]e^2x[blue]dx=((e²–1)/2)· (1/2)∫ ₀²[blue]e^t[blue](1/2)dt=


=((e²–1)/4)·(e^t)|²₀=((e²–1)/4)·(e²–1)=(e²–1)²/4)