Задача 62912 ...
Условие
а) y=5x4–37√x3+7/x5+4
б) y=x3sin x;
в) y=(x4+1)/(x4–1)
г) y=(x5+3x–14);
д) y=3^√((x+1))/(x3–1))2.
Решение
[m]y`=(5x^4-3\sqrt[7]{x^3}+\frac{7}{x^5}+4)`=[/m]
производная суммы ( разности) равна сумме (разности) производных
[m]=(5x^4)`-(3\sqrt[7]{x^3})`+(\frac{7}{x^5})`+(4)`=[/m]
постоянный множитель можно выносить за знак производной:
[m]=5(x^4)`-3(\sqrt[7]{x^3})`+7(\frac{1}{x^5})`+(4)`=[/m]
применяем свойства степени:
[m]=5(x^4)`-3(x^{\frac{3}{7}})`+7(x^{-5})`+(4)`=[/m]
применяем формулы ( см таблицу производных):
[r][m] C`=0[/m];[/r]
[r][m](x^{ α })`= α \cdot x^{ α -1}[/m][/r]
[m]=5\cdot 4x^3-3\cdot \frac{3}{7}\cdot x^{\frac{3}{7}-1}+7\cdot (-5)\cdot x^{-5-1}+0=[/m]
[m]=20x^3-\frac{9}{7}x^{-\frac{4}{7}}-35x^{-6}=20x^3\frac{9}{7\cdot \sqrt[7]{x^4}}-\frac{35}{x^6}[/m] - это ответ
б)
[m]y=x^3\cdot sinx[/m]
Применяем правило дифференцирования произведения:
[r][m](uv)`=u`v+uv`[/m][/r]
[m]y`=(x^3)`\cdot sinx+x^3\cdot (sinx)`[/m]
применяем таблицу производных:
[r][m](x^{ α })`= α \cdot x^{ α -1}[/m][/r]
[r][m](sinx)`=cosx[/m][/r]
[m]y`=3x^2\cdot sinx+x^3\cdot cosx[/m]- о т в е т
в)
[m]y=\frac{x^4+1}{x^4-1}[/m]
Применяем правило дифференцирования дроби (частного)
:
[r][m](\frac{u}{v})`=\frac{u`v-uv`}{v^2}[/m][/r]
[m]y=\frac{(x^4+1)`\cdot (x^4-1)-(x^4+1)\cdot (x^4-1)`}{(x^4-1)^2}[/m]
применяем таблицу производных:
[r][m](x^{ α })`= α \cdot x^{ α -1}[/m][/r]
[m]y`=\frac{(4x^3)\cdot (x^4-1)-(x^4+1)\cdot (4x^3)}{(x^4-1)^2}[/m]
[m]y`=\frac{(4x^3)\cdot (x^4-1-x^4-1)}{(x^4-1)^2}[/m]
[m]y`=\frac{(-8x^3)}{(x^4-1)^2}[/m] - о т в е т
г)
[m]y=(x^5+3x-1)^4[/m]
Применяем правило дифференцирования сложной функции
[r][m](u^{ α })`= α \cdot u^{ α -1}\cdot u`[/m][/r]
[m]y`=4(x^5+3x-1)^3\cdot (x^5+3x-1)`[/m]
[m]y`=4(x^5+3x-1)^3\cdot (5x^4+3)[/m]
[m]y`=(20x^4+12)\cdot (x^5+3x+1)^3[/m] - о т в е т.
д)
[m]y=\sqrt[3](\frac{x^3+1}{x^3-1})^2[/m]
[m]y=(\frac{x^3+1}{x^3-1})^{\frac{2}{3}}[/m]
Применяем правило дифференцирования сложной функции
[r][m](u^{ α })`= α \cdot u^{ α -1}\cdot u`[/m][/r]
[m]y=\frac{2}{3}\cdot (\frac{x^3+1}{x^3-1})^{\frac{2}{3}-1}\cdot(\frac{x^3+1}{x^3-1})` [/m]
[m]y`=\frac{2}{3}\cdot (\frac{x^3+1}{x^3-1})^{-\frac{1}{3}}\cdot\frac{(x^3+1)`\cdot (x^3-1)-(x^3+1)\cdot (x^3-1)`}{(x^3-1)^2} [/m]
[m]y`=\frac{2}{3}\cdot \sqrt[3]{\frac{x^3-1}{x^3+1}}\cdot\frac{(-6x^2)}{(x^3-1)^2} [/m]
Упрощаем:
[m]y`=-4x^2\cdot \sqrt[3]\frac{1}{(x^3+1)(x^3-1)^5}[/m]