Задача 62776 Запишите уравнение прямой, проходящей...

61ead2005ad3fc21df932538

21.01.2022 18:33:49

Запишите уравнение прямой, проходящей через точку P(−3;5) на одинаковом расстоянии от точек A(−4;−1) и B(3;2) .

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21.01.2022 19:56:25

★

Пусть уравнение прямой имеет вид:
[m]ax+by+c=0[/m]

Тогда расстояние от точки А(-4;-1) до этой прямой:

[m]d_{1}=\frac{|a\cdot (-4)+b\cdot (-1)+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/m]

Тогда расстояние от точки B(3;2) до этой прямой:

[m]d_{2}=\frac{|a\cdot 3+b\cdot 2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/m]


По требованию задачи:

1) [m]d_{1}=d_{2}[/m] ⇒ [m]|a\cdot (-4)+b\cdot (-1)+c|=|a\cdot 3+b\cdot 2+c|[/m]


2) прямая [m]ax+by+c=0[/m] проходит через точку Р(-3;5)

[m]a\cdot (-3)+b\cdot 5+c=0[/m] ⇒ [m]-3a+5b+c=0[/m]


Решаем систему двух уравнений и находим а и b:

[m]\left\{\begin {matrix} |a\cdot (-4)+b\cdot (-1)+c|=|a\cdot 3+b\cdot 2+c|\\-3a+5b+c=0\end {matrix}\right.[/m] ⇒


[m]\left\{\begin {matrix} a\cdot (-4)+b\cdot (-1)+c=a\cdot 3+b\cdot 2+c\\-3a+5b+c=0\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}a\cdot (-4)+b\cdot (-1)+c=-a\cdot 3-b\cdot 2-c\\-3a+5b+c=0\end {matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin {matrix} -4a-b=3a+2b\\-3a+5b+c=0\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}-a+b+2c=0\\-3a+5b+c=0\end {matrix}\right.[/m] умножим второе уравнение на 2

[m]\left\{\begin {matrix} b=-\frac{7}{3}a\\c=\frac{44}{3}\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}-a+b+2c=0\\-6a+10b+2c=0\end {matrix}\right.[/m] вычитаем из одного второе

[m]\left\{\begin {matrix} b=-\frac{7}{3}a\\c=\frac{44}{3}\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}- \frac{9}{5}b+b+2c=0\Rightarrow c=\frac{2}{5}b\\a=\frac{9}{5}b\end {matrix}\right.[/m]

О т в е т.
1) [m]ax+(-\frac{7}{3}a)y+\frac{44}{3}=0[/m] ⇒[m] 3x-7y+44=0[/m]

2)[m]\frac{9}{5}bx+by+\frac{2}{5}b=0[/m] ⇒ [m]9x+5y+2=0[/m]