Задача 62479 Исходя из определения производной (не...
Условие
Решение
[m]f`(x)=lim_{ Δx → 0}\frac{ Δf}{ Δx}[/m]
Находим приращение функции:
[m] Δf=f(x+ Δx)-f(x)=(sin3(x+ Δx)-(x+ Δx))-(sin3x-x)=(sin3(x+ Δx)-sin3x) - (x-+Δx-x)=[/m]
[m]=sin3(x+ Δx)-sin3x- Δx[/m]
Тогда
[m]\frac{ Δf}{ Δx}=\frac{sin3(x+ Δx)-sin3x- Δx}{ Δx}=\frac{2sin\frac{3x+3 Δx-3x}{2}cos\frac{3x+3 Δx+3x}{2}- Δx}{ Δx}=\frac{2sin\frac{3 Δx}{2}cos\frac{6x+3 Δx}{2}- Δx}{ Δx}[/m]
[m]f`(x)=lim_{ Δx → 0}\frac{ Δf}{ Δx}=lim_{ Δx → 0}\frac{2sin\frac{3 Δx}{2}cos\frac{6x+3 Δx}{2}- Δx}{ Δx}=2lim_{ Δx → 0}\frac{\frac{3}{2}sin\frac{3 Δx}{2}}{\frac{3 Δx}{2}}\cdot lim_{ Δx → 0}(cos3x+3 Δx)- lim_{ Δx → 0}1=3cos3x-1[/m]