Задача 61637 Написать уравнение перпендикуляра,...

61939b877c282c3a2a3c7b15

18 ноября 2021 г. в 22:42

Написать уравнение перпендикуляра, опущенного с точки М(2;1;0) на прямую
{x=3z–1, y=2z}

exponenta

18 ноября 2021 г. в 22:55

★

{x=3z–1 ⇒ z=(x+1)/3
{y=2z ⇒ z=y/2

Приравниваем правые части
(x+1)/3=y/2=z

Получили каноническое уравнение прямой в пространстве

Прямая имеет направляющий вектор
s=(3;2;1)

Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку M, перпендикулярно данной прямой.

При этом направляющий вектор прямой – нормальный вектор плоскости

3·(x–2)+2·(y–1)+1·(z–0)=0

Найдем координаты точки N– точки пересечения плоскости и прямой:
{3·(x–2)+2·(y–1)+1·(z–0)=0
{x=3z–1
{y=2z

3·(3z–1)+2·(2z–1)+z=0
9z–3+4z–2+z=0

14z=5

z=5/14

z_N=5/14

x_N=3·(5/14)+1=29/14
y_N=2·(5/14)=10/14


N(29/14;10/14;5/14)

Составляем уравнение прямой проходящей через две точки М и N.

Подставляем координаты точек M и N в уравнение:


[m]\frac{x−x_{M}}{x_{N}−x_{M}}=\frac{y−y_{M}}{y_{N}−y_{M}}=\frac{z−z_{M}}{z_{N}−z_{M}}[/m]