Задача 61634 Объем треугольной призмы равен 9. Три...

гуров

18 ноября 2021 г. в 20:09

Объем треугольной призмы равен 9. Три его вершины находятся в точке А(4;–1;2), B(5;1;4),C(3;2;1). Найдите координaты четвертой вершины D , если она находится на оси Оy

exponenta

18 ноября 2021 г. в 20:40

★

D(0;m;0)

AB=(5–4; 1–(–1); 4–2)=(1;2;2)

AC=(3–4; 2–(–1); 1–2)=(–1;3;–1)

AD=(0–4; m–(–1); 0–2)=(–4;m+1;–2)


Находим смешанное произведение векторов

(AB·[AB × AB]) =$\begin {vmatrix} 1&2&2\\-1&3&-1\\-4&m+1&-2\end {vmatrix}=-6+8-2(m+1)+24+(m+1)-4=20-m$


V_{пирамиды}=(1/6)|(AB·[AB × AB])|=(1/6)·|2–m|

По условию:
V_{пирамиды}=9 ⇒


(1/6)·|2–m|=9

|2–m|=54

2–m=–54 или 2–m=54

m=56 или m=–52

О т в е т. D (0;–52;0) или D(0;56;0)