Задача 61599 5. Определить характер функций f_1(x),...
Условие
...
6. Исследовать функции f1(x) и f2(x) на непрерывность, установить тип точек разрыва и построить графики функций в окрестности точек разрыва.
...
Решение
1) Подставляем х → 0
f(x) → ln(1+0)=0 – б.м.
2)
Подставляем х → 3
2x–8 → 0 ⇒ 1/0 → ∞
б.б.
3)x → ∞ ⇒
x+2x2 → ∞
1/(x+2x2) → 0
sin(1/(x+2x2)) → 0
x → +∞
arctg3x → π/2
x → –∞
arctg3x →–( π/2)
x → ∞
arctg3x · sin(1/(x+2x2)) – б.м произведение б.м и ограниченной
6.
На (–∞ ;0) функция непрерывна, так как y=x3 непрерывна на (– ∞ ;+ ∞ )
На [0;4) функция непрерывна, так как y=x2+1 непрерывна на (– ∞ ;+ ∞ )
На (4;+∞) функция непрерывна, так как y=lg(x–4) непрерывна на области определения
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках
х=0
Находим предел слева:
limx →–0f(x)=limx → –0(х3)=0
Находим предел справа:
limx → +0f(x)=limx → +0(x2+1)=0+1=1
предел слева ≠ пределу справа
Функция имеет скачок (конечный) в точке x=0
х=0 – точка разрыва первого рода
х=4
Находим предел слева:
limx →4–0f(x)=limx →4 –0(х2+1)=16+1=17
Находим предел справа:
limx →4 +0f(x)=limx →4 +0lg(x–4)=– ∞
Правосторонний предел – бесконечный ⇒
x=4 – точка разрыва второго рода
б)
функция непрерывна во всех точках, кроме х=–2
Находим предел слева:
|x+2|=–(x+2)
(x+2)/|x+2|=(x+2)/(–(x+2))=–1
f(x)=x–1
limx →–2–0f(x)=limx →–2 –0(x–1)=–3
Находим предел справа:
|x+2|=(x+2)
f(x)=x+1
(x+2)/|x+2|=(x+2)/(x+2)=1
f(x)=x+1
limx →–2 +0f(x)=limx →–2 +0(x+1)=–1
предел слева ≠ пределу справа
Функция имеет скачок (конечный) в точке x=–2
х=–2 – точка разрыва первого рода