Задача 61599 5. Определить характер функций f_1(x),...

6193afee7c282c3a2a3c7b9f

16.11.2021 23:38:10

5. Определить характер функций f_1(x), f_2(x), f_3(x) в точке x_0 и выделить главные части.
...

6. Исследовать функции f_1(x) и f_2(x) на непрерывность, установить тип точек разрыва и построить графики функций в окрестности точек разрыва.

...

5f3ea7e3faf909182968ddd9

17.11.2021 17:08:13

★

5.

1) Подставляем х → 0

f(x) → ln(1+0)=0 - б.м.

2)
Подставляем х → 3


2^(x)-8 → 0 ⇒ 1/0 → ∞

б.б.

3)x → ∞ ⇒
x+2x^2 → ∞

1/(x+2x^2) → 0

sin(1/(x+2x^2)) → 0


x → +∞
arctg3x → π/2

x → -∞
arctg3x →-( π/2)


x → ∞
arctg3x * sin(1/(x+2x^2)) - б.м произведение б.м и ограниченной



6.

На (-∞ ;0) функция непрерывна, так как y=x^(3) непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На [0;4) функция непрерывна, так как y=x^2+1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (4;+∞) функция непрерывна, так как y=lg(x-4) непрерывна на области определения

Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках

х=0

Находим предел слева:
lim_(x →-0)f(x)=lim_(x → -0)(х^3)=0

Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)(x^2+1)=0+1=1

предел слева ≠ пределу справа



Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=0
х=0 - [i]точка разрыва первого рода[/i]


х=4

Находим предел слева:
lim_(x →4-0)f(x)=lim_(x →4 -0)(х^2+1)=16+1=17

Находим предел справа:
lim_(x →4 +0)f(x)=lim_(x →4 +0)lg(x-4)=- ∞

Правосторонний предел - бесконечный ⇒

x=4 -[i] точка разрыва второго рода[/i]


б)

функция непрерывна во всех точках, кроме х=-2

Находим предел слева:

|x+2|=-(x+2)

(x+2)/|x+2|=(x+2)/(-(x+2))=-1

f(x)=x-1


lim_(x →-2-0)f(x)=lim_(x →-2 -0)(x-1)=-3




Находим предел справа:

|x+2|=(x+2)
f(x)=x+1
(x+2)/|x+2|=(x+2)/(x+2)=1

f(x)=x+1

lim_(x →-2 +0)f(x)=lim_(x →-2 +0)(x+1)=-1

предел слева ≠ пределу справа

Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=-2
х=-2 - [i]точка разрыва первого рода[/i]