Задача 61396 Найти производную функции u в точке М по...
Условие
Решение
[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }=\frac{ ∂u }{ ∂x }cos α +\frac{ ∂u }{ ∂y }cos β +\frac{ ∂u }{ ∂z }cos γ [/m]
Производная по направлению в точке:
[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }|_{M}=\frac{ ∂u }{ ∂x }|_{M}cos α +\frac{ ∂u }{ ∂y }|_{M}cos β +\frac{ ∂u }{ ∂z }|_{M}cos γ [/m]
Находи координаты направляющего вектора: [m]\vec{MP}=(3-1;-5-1;2-(-1))=2;-6;3)[/m]
[m]|\vec{MP}|=\sqrt{2^2+(-6)^2+3^2}=\sqrt{49}=7[/m]
[m]cos α =\frac{2}{7}[/m]; [m]cos β =-\frac{6}{7}[/m];[m]cos γ =\frac{3}{7}[/m];
Находим частные производные
[m]\frac{ ∂u }{ ∂x }=(\frac{xz^4}{y}+ xzy^5+ \frac{y}{z^2})`_{x}=\frac{z^4}{y}(x)`+ zy^5(x)`+( \frac{y}{z^2})`_{x}=\frac{z^4}{y}+ zy^5[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂y }=(\frac{xz^4}{y}+ xzy^5+ \frac{y}{z^2})`_{y}=xz^4(\frac{1}{y})`+ xz\cdot (y^5)`+ \frac{1}{z^2}(y)`=-\frac{xz^4}{y^2}+ 5xz\cdot y^4+ \frac{1}{z^2}[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂z }=(\frac{xz^4}{y}+ xzy^5+ \frac{y}{z^2})`_{z}=\frac{x}{y}\cdot (z^4)`+ xy^5\cdot (z)`+ y(\frac{1}{z^2})`=\frac{4xz^3}{y}+xy^5-\frac{2y}{z^3}[/m]
Находим частные производные в точке:
[m]\frac{ ∂u }{ ∂x }_{M}=\frac{(-1)^4}{1}+ (-1)\cdot 1^5=0[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂y }_{M}=-\frac{1\cdot (-1)^4}{1^2}+ 5\cdot 1\cdot (-1)\cdot 1^4+ \frac{1}{(-1)^2}=-5[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂z }_{M}=\frac{4\cdot 1\cdot (-1)^3}{1}+1\cdot 1^5-\frac{2\cdot1}{(-1)^3}=-1[/m]
Производная по направлению в точке:
[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }|_{M}=0\cdot\frac{2}{7}+(-5)\cdot(-\frac{6}{7}) +(-1)\cdot\frac{3}{7}=\frac{0+30-3}{7} =\frac{27}{7}[/m]