Задача 61319 Даны три точки...
Условие
1)Составьте уравнение прямой перпендикулярной прямой перпендикулярной прямой M1,M2 и проходящей через точку M3
2)Составьте уравнение прямой параллельной прямой M1M2 и проходящей через точку M3
Решение
y=kx+b - уравнение с угловым коэффициентом
ax+by+c=0 - общее уравнение прямой
[m]\frac{x-x_{o}}{p}=\frac{y-y_{o}}{q}[/m]- уравнение прямой, проходящей через точку (x_(o);y_(o)) c направляющим вектором
[m]\vec{s}=(p;q)[/m]
[m]\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}[/m]- уравнение прямой, проходящей через
две точки (x_(1);y_(1));(x_(2);y_(2)).
Составляем уравнение прямой M_(1)M_(2) как прямой, проходящей через две точки:
[m]\frac{x-(-1)}{2-(-1)}=\frac{y-5}{1-5}[/m]
[m]\frac{x+1)}{3}=\frac{y-5}{-4}[/m] ⇒ -4(x-1)=3(y-5) ⇒ 4x+3y-19=0
[m]\vec{3;-4}[/m] - направляющий вектор прямой M_(1)M_(2)
Это же уравнение можно получить из уравнения вида
y=kx+b
Подставить координаты точек M_(1) и M_(2) и найти
k=-4/3
b=19/3
a)
Направляющие векторы перпендикулярных прямых ортогональны
⇒
[m]\vec{4;3}[/m] - направляющий вектор прямой, перпендикулярной M_(1)M_(2)
Составляем уравнение прямой, проходящей через точку M_(3)
[m]\frac{x-4)}{4}=\frac{y-11}{3}[/m] ⇒ 3(x-4)=4(y-11)
[b]3x-4y+32=0[/b] ⇒ y=(3/4)x[b]+8[/b]
В случаем уравнения прямой М_(1)М_(2) в виде:
y=(-4/3)x+(19/3)
уравнение перпендикулярной прямой находим в виде
y=(3/4) x+m
потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
чтобы найти m подставляем координаты точки М_(3)
[b]m=8[/b]
2)
Параллельные прямые имеют одинаковые направляющие векторы ( и значит одинаковые угловые коэффициенты)
[m]\frac{x-4)}{3}=\frac{y-11}{-4}[/m] ⇒ -4(x-4)=3(y-11) ⇒ [red]4x+3y-49=0[/red]
y=(-4/3) x+m
чтобы найти m подставляем координаты точки М_(3)
11=(-4/3)*4+m
[b]m=49/3[/b]
[red]y=(-4/3) x+(49/3)[/red]