Задача 61277 ...
Условие
Найти направляющие косинусы вектора MP и значение производной по направлению (например, cosα=2/7, cosβ=3/7, cosγ=6/7; ∂u/∂MP=15/7
Решение
[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }=\frac{ ∂u }{ ∂x }cos α +\frac{ ∂u }{ ∂y }cos β +\frac{ ∂u }{ ∂z }cos γ [/m]
Производная по направлению в точке:
[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }|_{M}=\frac{ ∂u }{ ∂x }|_{M}cos α +\frac{ ∂u }{ ∂y }|_{M}cos β +\frac{ ∂u }{ ∂z }|_{M}cos γ [/m]
Находи координаты направляющего вектора: [m]\vec{MP}=(2-1;5-1;9-1)=(1;4;8)[/m]
[m]|\vec{MP}|=\sqrt{1^2+4^2+6^2}=\sqrt{53}[/m]
[m]cos α =\frac{1}{\sqrt{53}}[/m]; [m]cos β =\frac{4}{\sqrt{53}}[/m];[m]cos γ =\frac{8}{\sqrt{53}}[/m];
Находим частные производные
[m]\frac{ ∂u }{ ∂x }=(\frac{z}{x^3}+ xy^3+ yz^5)`_{x}=z\cdot (x^{-3})`+y^3\cdot(x)`+0=-3\frac{z}{x^4}+y^3[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂y }=(\frac{z}{x^3}+ xy^3+ yz^5)`_{y}=0+x\cdot (y^3)`+z^5\cdot(y)`=3xy^2+z^5[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂z }=(\frac{z}{x^3}+ xy^3+ yz^5)`_{z}=\frac{1}{x^3}\cdot (z)`+0+y\cdot (z^5)`=\frac{1}{x^3}+5yz^4[/m]
Находим частные производные в точке:
[m]\frac{ ∂u }{ ∂x }_{M}==-3\frac{1}{1^4}+1^3=-2[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂y }_{M}=3\cdot 1\cdot 1^2+1^5=4[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂z }_{M}=\frac{1}{1^3}+5\cdot 1\cdot 1^4=6[/m]
Производная по направлению в точке:
[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }|_{M}=(-2)\cdot\frac{1}{\sqrt{53}}+4\cdot\frac{4}{\sqrt{53}} +6\cdot\frac{8}{\sqrt{53}}=\frac{-2+16+48}{\sqrt{53}} =\frac{62}{\sqrt{53}}[/m]