Задача 61020 Найти уравнение прямых, на которых лежат...

Jin_667306338

14 октября 2021 г. в 16:57

Найти уравнение прямых, на которых лежат биссектрисы углов между прямыми 3х–4у+12=0 и 5х+12у–2=0

exponenta

14 октября 2021 г. в 19:44

★

Находим координаты точки пересечения прямых
{3x – 4y + 12 = 0
{5x + 12y – 2 = 0

Умножаем первое уравнение на 3
{9x – 12y + 36 = 0
{5x + 12y – 2 = 0

Складываем
14х+34=0
х=–17/7
y=(3x+12)/4
у=33/28

А(–17/7;33/28)

n₁=(3;–4)
нормированный вектор n₁=(3/5;–4/5)
n₂=(5;12)
нормированный вектор n₂=(5/13;12/13)

Нормированный вектор биссектрисы равен сумме нормированных векторов прямых
n_{биссектрисы}=(64/65;8/65)

Cоставим уравнение прямой с нормальным вектором n_{биссектрисы}=(64/65;8/65) и проходящей через точку А (–17/7;33/28)

64х+8у+65с=0

64·(–17/7)+8·(33/28)+65с=0

65с=146

64х+8y+146=0
или
32x+4y+73=0 – уравнение одной биссектрисы.

Уравнение второй биссектрисы – уравнение перпендикулярной ей прямой, проходящей через точку А.
Перепишем найденное уравнение в виде:
y=–8x–(73/4)
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно –1
y=(1/8)x+d – общее уравнение прямых, перпендикулярных найденной биссектрисе.
Чтобы найти d подставим координаты точки А

(33/28)=(1/8)·(–17/7)+d
d=83/56

y=(1/8)x+(83/56)
7x–56y+83=0

О т в е т.
32х+4y+73=0
7x–56y+83=0