Задача 60520 ...

Решить уравнение:

Найти все корни уравнения на отрезке [3π/2; 3π].

ОДЗ:
$tgx>0$ ⇒ $πk < x < \frac{π}{2}+πk, k ∈$ Z ⇒ углы в первой и третьей четвертях

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля.

Отличие знаменателя от 0 учтено в ОДЗ.

$4sin^4x+3cos2x-1=0$

Так как

$cos2x=1-2sin^2x$, получим уравнение:

$4sin^4x+3(1-2sin^2x)-1=0$


Это биквадратное уравнение относительно sinx


$4sin^4x+3(1-2sin^2x)-1=0$

$4sin^4x-6sin^2x+2=0$

$2sin^4x-3sin^2x+1=0$

D=(–3)²–4·2=1


sin²x=1/2 ИЛИ sin²x=1


sin²x=1/2 ⇒ sinx= ±√2/2 ⇒ x=(π/4)+(π/2)m, m ∈ Z Не все корни удовлетворяют ОДЗ

Только те, которые лежат в первой и третьей четвертях

ИЛИ

sin²x=1 ⇒ sinx= ± 1 ⇒ $x=\frac{π}{2}+πn, n$ ∈ Z найденные корни не удовлетворяют ОДЗ

С учетом ОДЗ получаем ответ.


О т в е т.$\frac{π}{4}+πn, n ∈$ Z


На отрезке $[\frac{3π}{2};3π]$ один корень ( см. рис. 5)


$\frac{π}{4}+2π=\frac{9π}{4}$;