Задача 60300 Найти для функции u=7x^2y-3xz^2+5yz^2...
Условие
Решение
[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }=\frac{ ∂u }{ ∂x }cos α +\frac{ ∂u }{ ∂y }cos β +\frac{ ∂u }{ ∂z }cosγ [/m]
Находим направляющие косинусы направления, вектора vector{n}:
Его длина [m]|\vec{n}=\sqrt{(-12)^2+0^2+5^2}=\sqrt{169}=13[/m]
[m]cos α =\frac{(-12)}{13}[/m]; [m]cos β =0; [/m][m]cos γ =\frac{5}{13}[/m]
Находим частные производные:
[m]\frac{ ∂u }{ ∂x }=(7x^2y–3xz^2+5yz^2)`_{x}=14xy-3z^2[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂y }=(7x^2y–3xz^2+5yz^2)`_{y}=7x^2+5z^2[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂z }=(7x^2y–3xz^2+5yz^2)`_{z}=-6xz+10yz[/m]
Производная по направлению в точке М(2,1,–1):
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }|_{M}=\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{M}cos α +\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{M}cos β+\frac{ ∂u }{ ∂z }|_{M}cosγ [/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂x }|_{M}=14\cdot 2\cdot 1-3\cdot (-1)^2=25[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂y }|_{M}=7\cdot 2^2+5\cdot (-1)^2=33[/m]
[m]\frac{ ∂u }{ ∂z }|_{M}=-6\cdot 1\cdot (-1)+10\cdot 1\cdot (-1)=6-10=-4[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }|_{M}=25\cdot(- \frac{12}{13})+33\cdot 0 +(-4)\cdot \frac{5 }{13 }=... [/m] считайте