Задача 60208 [red]Даны: функция z=f(x,y), точка A и...

60c21671a1c50e1d3043d5fa

10.06.2021 16:54:48

[red]Даны: функция z=f(x,y), точка A и вектор a . Требуется найти: 1) grad z в точке A ; 2) производную в точке A по направлению вектора a ; 3) экстремум функции z=f(x,y)[/red]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.06.2021 22:21:14

★

a)

[m]\vec{grad z}=\frac{ ∂z }{ ∂x }\vec{i}+\frac{ ∂z }{ ∂y }\vec{j}[/m]

Находим

[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(4x^2+9y^2-4x-6y+3)`_{x}=8x-4[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=(4x^2+9y^2-4x-6y+3)`_{y}=18y-6[/m]


[m]\vec{grad z}|_{A}=\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{A}\vec{i}+\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{A}\vec{j}[/m]

[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{A}=8\cdot (-1)-4=-12[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{A}=18\cdot (-1)-6=-24[/m]

[m]\vec{grad z}|_{A}=-12\vec{i}-24\vec{j}[/m]


б)
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }=\frac{ ∂z }{ ∂x }cos α +\frac{ ∂z }{ ∂y }cos β [/m]

[m]cos α =\frac{12}{13}[/m]; [m]cos β =\frac{5}{13}[/m]

[m]|\vec{a}|=\sqrt{12^2+5^2}=13[/m]


[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }|_{A}=\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{A}cos α +\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{A}cos β[/m]


[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }|_{A}=-12\cdot \frac{12}{13}-24\cdot \frac{5 }{13 }=... [/m] считайте


в)

Находим

[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(4x^2+9y^2-4x-6y+3)`_{x}=8x-4[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=(4x^2+9y^2-4x-6y+3)`_{y}=18y-6[/m]

Находим стационарные точки:

8x-4=0
18y-6=0

x=1/2
y=1/3

Исследуем эту точку на экстремум

Находим

[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂x^2 }=(8x-4)`_{x}=8[/m]
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂x∂y }=(8x-4)`_{y}=0[/m]
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂y^2 }=(18y-6)`_{y}=18[/m]

[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂x^2 }|_{A}=8[/m]
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂x∂y }|_{A}=0[/m]
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂y^2 }|_{A}=18[/m]


[m] Δ\begin {vmatrix} 8&0\\0&18\end {vmatrix}=8\cdot 18 -0\cdot 0>0[/m]

(1/2; 1/3) - точка экстремума

Точка минимума, так как [m]\frac{ ∂^2z }{ ∂x^2 }|_{A}=8 >0[/m]