Снизу ограничен плоскостью z=0
Свержу поверхностью z=(13/4) -x^2
Поэтому
f(x;y)= z=(13/4) -x^2
[red]V= ∫ ∫_(D)((13/4) -x^2)dxdy [/red]
D: окружность: x^2+y^2=2y
или выделим полный квадрат
x^2+y^2-2y+1=1
x^2+(y-1)^2=1 ⇒ Окружность с центром (0;1) и радиусом 1
состоит из двух полуокружностей
y-1= ± sqrt(1-x^2)
и
y=1 ± sqrt(1-x^2)
D: -1 ≤ x ≤ 1; 1-sqrt(1-x^2) ≤ y ≤ 1+sqrt(1-x^2)
или
перейти к полярным координатам
x= ρ cos θ
y=[blue] ρ sin 0[/blue]
x^2+y^2= ρ
Уравнение окружности принимает вид:
ρ ^2=2* [blue]ρ sin 0[/blue]
или
ρ =2 sin θ
Тогда
0 ≤ θ ≤ π
0 ≤ ρ ≤ 2 sin θ
dxdy= ρ d ρ d θ
получаем
[red]V= ∫ ∫_(D)((13/4) -x^2)dxdy [/red]= ∫_(0) ^(π) [blue](∫_(0)^(2sin θ )( (13/4) -(ρ cos θ) ^2) ρ d ρ )[/blue]d θ =
=∫_(0) ^(π) [blue](∫_(0)^(2sin θ )( (13/4) ρ -ρ^3 cos^2 θ) d ρ )[/blue]d θ =
=∫_(0) ^(π) [blue](( (13/4)*( ρ^2/2) -(ρ^4/4) cos^2 θ)| _(0)^(2sin θ ) )[/blue]d θ =
=∫_(0) ^(π) [blue]((13/8(*4sin^2 θ )-4sin^4 θ *cos^2 θ )[/blue]d θ
=∫_(0) ^(π) (13/2)*(sin^2 θ )d θ -4∫_(0) ^(π) sin^4 θ *cos^2 θ )d θ =
применяем формулы понижения степени:
sin^2 θ =(1-cos2 θ )/2
cos^2 θ =(1+cos2 θ )/2
=(13/4)∫_(0) ^(π) (1-cos2 θ )d θ -(1/2)*∫_(0) ^(π)(1-cos2 θ)^2 *(1+cos2 θ )d θ =