Задача 59990 Задача 5. Найти объем тела, заданного...

60b1e843a1c50e1d30437a96

29 мая 2021 г. в 10:09

Задача 5. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями. 2 2 _ ₅ 2 — 1.х’ + у” =2у, л —2– х’, # =0.

exponenta

29 мая 2021 г. в 10:56

★

x²+y²–2y=0 – цилиндр, с образующими параллельными оси Оz.

Снизу ограничен плоскостью z=0

Сверху поверхностью z=(5/4) –x²

Поэтому

f(x;y)= z=(5/4) –x²

V= ∫ ∫_D((5/4) –x²)dxdy

D: окружность: x²+y²=2y


или выделим полный квадрат

x²+y²–2y+1=1

x²+(y–1)²=1 ⇒ Окружность с центром (0;1) и радиусом 1

состоит из двух полуокружностей

y–1= ± √1–x²

и

y=1 ± √1–x²


D: –1 ≤ x ≤ 1; 1–√1–x² ≤ y ≤ 1+√1–x²

или

перейти к полярным координатам

x= ρ cos θ

y= ρ sin 0


x²+y²= ρ

Уравнение окружности принимает вид:

ρ ²=2· ρ sin 0

или

ρ =2 sin θ

Тогда

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ ρ ≤ 2 sin θ

dxdy= ρ d ρ d θ

получаем

V= ∫ ∫_D((5/4) –x²)dxdy = ∫₀ ^π (∫₀^{2sin θ} ( (5/4) –(ρ cos θ) ²) ρ d ρ )d θ =

=∫₀ ^π (∫₀^{2sin θ} ( (5/4) ρ –ρ³ cos² θ) d ρ )d θ =


=∫₀ ^π (( (5/4)·( ρ²/2) –(ρ⁴/4) cos² θ)| ₀^{2sin θ} )d θ =


=∫₀ ^π ((5/8(·4sin² θ )–4sin⁴ θ ·cos² θ )d θ

=∫₀ ^π (5/2)·(sin² θ )d θ –4∫₀ ^π sin⁴ θ ·cos² θ )d θ =

применяем формулы понижения степени:

sin² θ =(1–cos2 θ )/2

cos² θ =(1+cos2 θ )/2

=(5/4)∫₀ ^π (1–cos2 θ )d θ –(1/2)·∫₀ ^π(1–cos2 θ)² ·(1+cos2 θ )d θ =


...