Задача 59990 Задача 5. Найти объем тела, заданного...

60b1e843a1c50e1d30437a96

29.05.2021 10:09:38

Задача 5. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями. 2 2 _ _5 2 — 1.х’ + у” =2у, л —2- х’, # =0.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

29.05.2021 10:56:50

★

x^2+y^2-2y=0 - цилиндр, с образующими параллельными оси Оz.

Снизу ограничен плоскостью z=0

Сверху поверхностью z=(5/4) -x^2

Поэтому

f(x;y)= z=(5/4) -x^2

[red]V= ∫ ∫_(D)((5/4) -x^2)dxdy [/red]

D: окружность: x^2+y^2=2y


или выделим полный квадрат

x^2+y^2-2y+1=1

x^2+(y-1)^2=1 ⇒ Окружность с центром (0;1) и радиусом 1

состоит из двух полуокружностей

y-1= ± sqrt(1-x^2)

и

y=1 ± sqrt(1-x^2)


D: -1 ≤ x ≤ 1; 1-sqrt(1-x^2) ≤ y ≤ 1+sqrt(1-x^2)

или

перейти к полярным координатам

x= ρ cos θ

y=[blue] ρ sin 0[/blue]


x^2+y^2= ρ

Уравнение окружности принимает вид:

ρ ^2=2* [blue]ρ sin 0[/blue]

или

ρ =2 sin θ

Тогда

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ ρ ≤ 2 sin θ

dxdy= ρ d ρ d θ

получаем

[red]V= ∫ ∫_(D)((5/4) -x^2)dxdy [/red]= ∫_(0) ^(π) [blue](∫_(0)^(2sin θ )( (5/4) -(ρ cos θ) ^2) ρ d ρ )[/blue]d θ =

=∫_(0) ^(π) [blue](∫_(0)^(2sin θ )( (5/4) ρ -ρ^3 cos^2 θ) d ρ )[/blue]d θ =


=∫_(0) ^(π) [blue](( (5/4)*( ρ^2/2) -(ρ^4/4) cos^2 θ)| _(0)^(2sin θ ) )[/blue]d θ =


=∫_(0) ^(π) [blue]((5/8(*4sin^2 θ )-4sin^4 θ *cos^2 θ )[/blue]d θ

=∫_(0) ^(π) (5/2)*(sin^2 θ )d θ -4∫_(0) ^(π) sin^4 θ *cos^2 θ )d θ =

применяем формулы понижения степени:

sin^2 θ =(1-cos2 θ )/2

cos^2 θ =(1+cos2 θ )/2

=(5/4)∫_(0) ^(π) (1-cos2 θ )d θ -(1/2)*∫_(0) ^(π)(1-cos2 θ)^2 *(1+cos2 θ )d θ =


...