Задача 59911 ...

5f8854b50fdfb21243667c8c

25 мая 2021 г. в 17:48

Решите неравенство

log₃(x+7)+(1/6)log₃(x+1)⁶ ≥ 2

exponenta

25 мая 2021 г. в 19:45

★

ОДЗ:
{x+7 > 0 ⇒ x>–7
{(x+1)⁶>0 ⇒ x ≠ –1

ОДЗ: x ∈ (–7;–1)U(–1;+ ∞ )


log₃(x+7)+(1/6)·6·log₃|x+1| ≥ 2·log₃3 ⇒

log₃(x+7)+log₃|x+1| ≥ log₃3² ⇒

log₃(x+7)·|x+1| ≥ log₃9

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастающая, поэтому

(x+7)·|x+1| ≥ 9

Решаем неравенство с модулем на ОДЗ


если x ∈ (–7;–1), то |x+1|=–x–1
(x+7)·(–x–1) ≥ 9 ⇒ x²+8x+16 ≤ 0 ⇒ (x+4)² ≤ 0 ⇒ x=–4

если x ∈ (–1;+ ∞ ), то |x+1|=x+1
(x+7)·(x+1) ≥ 9 ⇒ x²+8x–2 ≥ 0 D=72
√72=6√2
x ≤ (–8–6√2)/2 или x ≥ (–8+6√2)/2 =–4+3√2

x ∈ [–4+3√2;+ ∞ )

О т в е т. {–4} U [–4+3√2;+ ∞ )