Задача 59175 Решите неравенство log^2_5 |x| -...
Условие
Решение
|x| >0 ⇒ x ≠ 0
x^2 >0 ⇒ x ≠ 0
x ∈ (- ∞ ;0) U (0;+ ∞ )
По свойству логарифма частного и логарифма степени:
[m]log_{5}\frac{x^2}{5}=log_{5}x^2-log_{5}5=2log_{5}|x|-1[/m]
По свойству логарифма произведения:
[m]log_{5}25|x|=log_{5}25+log_{5}|x|=2+log_{5}|x|[/m]
[red][i]Замена переменной:[/i][/red]
[m]log_{5}|x|=t[/m]
[m]log_{5}\frac{x^2}{5}=2log_{5}|x|-1=2t-1[/m]
[m]log_{5}25|x|=2+log_{5}|x|=2+t[/m]
Решаем неравенство:
[m]t^2 -(2t-1) ≥ (\frac{1}{2}(2+t))^2[/m]
[m](t-1)^2 ≥ (1+\frac{1}{2}t)^2[/m]
[m](t-1)^2 - (1+\frac{1}{2}t)^2 ≥0 [/m]
Раскладываем на множители по формуле
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
[m](t-1 -1-\frac{1}{2}t)(t-1 +1+\frac{1}{2}t) ≥0 [/m]
[m](\frac{1}{2}t-2)(\frac{3}{2}t) ≥0 [/m]
[m]\frac{3}{2}t(\frac{1}{2}t-2) ≥0 [/m]
____+___ [0] ________ [4] ___+___
t ≤ 0 или t ≥ 4
Обратный переход:
[m]log_{5}|x| ≤ 0[/m] или [m]log_{5}|x| ≥4 [/m]
[m]log_{5}|x| ≤ log_{5}1[/m] или [m]log_{5}|x| ≥log_{5}625 [/m]
Учитывая, что логарифмическая функция с основанием 5 возрастает:
[m]|x| ≤ 1[/m] или [m]|x| ≥625 [/m]
C учетом ОДЗ получаем ответ
[b][m]x ∈ (- ∞ ;-625] \cup [-1;0) U (0;1] \cup[625;+ ∞ )[/m][/b]
