Задача 57612 ...

6017dec5ac63fb2d907aee5c

01.02.2021 14:01:25

Дана функция z = x^y. Найти ∂z/∂x,∂z/∂y ,∂^2z/∂x^2,∂^2z/∂y^2,∂^2z/∂x∂y.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

02.02.2021 00:03:55

★

Логарифмируем:

[m]lnz=lnx^{y}[/m]

[m](lnz)`_{x}=(y*lnx)`_{x}[/m] ⇒ [m]\frac{z`_{x}}{z}=y\cdot \frac{1}{x}[/m] ⇒ [m]z`_{x}= ∂z/ ∂x= \frac{y}{x}[/m]

[m](lnz)`_{y}=(y*lnx)`_{y}[/m]⇒ [m]\frac{z`_{y}}{z}=lnx[/m] ⇒ [m]z`_{y}= ∂z/ ∂y =x^{y}\cdot lnx[/m]


[m]z``_{xx}= ∂^2z/ ∂x^2 =(\frac{y}{x})`_{x}=y\cdot(-\frac{1}{x^2})=-\frac{y}{x^2}[/m]

[m]z``_{xy}= ∂^2z/ ∂x ∂y =(\frac{y}{x})`_{y}=\frac{1}{x}\cdot(y )`_{y}=\frac{1}{x}[/m]

[m]z``_{yy}= ∂ ^2z/ ∂y^2= (x^{y}\cdot lnx)`_{y}=lnx\cdot (x^{y})`_{y}=lnx\cdot z`_{y}=lnx \cdot x^{y}\cdot lnx=(lnx)^2\cdot x^{y} [/m]