Эта задача включает в себя несколько стандартных задач
План решения такой:
1) Составим уравнение пл. BCD как уравнение плоскости, проходящей через три точки.
( см. скрины 1 и 2)
vector{n_( пл.BCD)}={-5;-1;-5}
2)
vector {AA_{1}} коллинеарен вектору vector{n_( пл.BCD)}={-5;-1;-5}
⇒
A_(1)B- проекция точки А на плоскость BCD
Находим координаты точки А_(1) - проекции точки А на плоскость BCD.
A_(1) - принадлежит пл. BCD. Значит ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости
-5x_(A_(1))-y_(A_(1))-5z_(A_(1))+5=0
vec{AA_(1)}=(x_(A_(1))-3;y _(A_(1))-(-2); z_(A_(1))-5) коллинеарен вектору vector{n_( пл.BCD)}={-5;-1;-5}
[m] \frac{x_{A_{1}}-3}{-5}= \frac{y_{A_{1}}+2}{-5}= \frac{z_{A_{1}}-5}{-5}[/m] Обозначим через k
[m] x_{A_{1}}=-5k+3[/m]
[m] y_{A_{1}}=-k-2[/m]
[m] z_{A_{1}}=-5k+5[/m]
и подставляем в уравнение плоскости BCD^
-5(5k+3)-(-k-2)-5(-5k+5)+5=0
k=11/17
Теперь найдем координаты точки А_(1):
[m] x_{A_{1}}=-5\cdot \frac{11}{17}+3=-\frac{4}{17}[/m]
[m] y_{A_{1}}=-\frac{11}{17}-2=-\frac{45}{17}[/m]
[m] z_{A_{1}}=-5\cdot \frac{11}{17}+5=\frac{30}{17}[/m]
3)
Точка P - принадлежит прямой АВ. См уравнение прямой на скрине 3
Значит координаты точки:
P(-3t+3;2t-2;-4t+5)
vector{A_(1)P}=[m](-3t+3-(-\frac{4}{17}); 2t-2-(-\frac{45}{17}); -4t+5-\frac{30}{17})[/m]
vector{A_(1)P} ⊥ vector{AB} ⇒ Cкалярное произведение векторов равно 0.
Это позволяет составить уравнение:
[m]-5\cdot (-3t+3-(-\frac{4}{17}))\cdot( 2t-2-(-\frac{45}{17}))-5\cdot (-4t+5-\frac{30}{17})=0[/m]
t=
Найдем координаты точки Р
vector{A_(1)P} - направляющий вектор плоскости О
Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку А с направляющим вектором.