Задача 57445 ...

Desman

27 января 2021 г. в 14:35

Найти пределы:

1. lim (x→x₀) (3x² + 2x – 1) / (2x² + 3x + 1)
a) x₀ = 2
b) x₀ = –1
c) x₀ = ∞

2. lim (x→x₀) (x² + 7x + 12) / (3x² + 11x + 6)
a) x₀ = 2
b) x₀ = –3
c) x₀ = ∞

exponenta

27 января 2021 г. в 17:04

★

1.
a)
$\lim_{x \to 2 }\frac{3x^2+2x-1}{2x^2+3x+1}=\frac{3\cdot 2^2+2\cdot 2-1}{2\cdot 2^2+3\cdot 2+1}=\frac{12+4-1}{8+6+1}=\frac{15}{15}=1$

б)
$\lim_{x \to -1 }\frac{3x^2+2x-1}{2x^2+3x+1}=\frac{3\cdot (-1)^2+2\cdot (-1)-1}{2\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+1}=\frac{3-2-1}{2-3+1}=\frac{0}{0}$

неопределенность.

Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:

$=\lim_{x \to -1 }\frac{(x+1)(3x-1)}{(x+1)(2x+1)}=$

сокращаем на $(x+1)$

$=\lim_{x \to -1 }\frac{3x-1}{2x+1}=\frac{3\cdot (-1)-1}{2\cdot (-1)+1}=\frac{-3-1}{-2+1}=4$

в)

$\lim_{ \to \infty }\frac{3x^2+2x-1}{2x^2+3x+1}=$

Неопределенность ( ∞ / ∞ )

Делим числитель и знаменатель на x²:

$=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x^2+2x-1}{x^2}}{\frac{2x^2+3x+1}{x^2}}=$

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на $x^2$ и
каждое слагаемое знаменателя делим на $x^2$:

$=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x^2}{x^2}+\frac{2x}{x^2}-\frac{1}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}+\frac{3x}{x^2}+\frac{1}{x^2}}=$

$=\lim_{ \to \infty }\frac{3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}=\frac{3+0-0}{2+0+0}=\frac{3}{2}=1.5$