Задача 57176 Даны две противоположные вершины...

Дефне

19 января 2021 г. в 18:41

Даны две противоположные вершины квадрата ????(−1,4) и С(7, −2 ). Найти две
другие вершины. Система координат прямоугольная декартова.

exponenta

19 января 2021 г. в 19:47

★

1) составим уравнение прямой АС, как прямой, проходящей через две точки

$k_{AС}=-\frac{3}{4}$

Тогда

$k_{BD}=\frac{4}{3}$


Тогда уравнение BD

$y=\frac{4}{3}x+b$

Чтобы найти $b$ подставим координаты точки $О$ – середины $АС$

$О(\frac{-1+6}{2};\frac{4+(-2)}{2})=O(3;1)$

$b=-3$


$y=\frac{4}{3}x-3$



$О$ – середина $BD$

$\frac{x_{B}+x_{D}}{2}=3$ ⇒ $x_{B}+x_{D}=6$

Диагонали квадрата равны.

$AC=BD$

$AC=\sqrt{(7-(-1))^2+(-2-4)^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$


$BD=\sqrt{(x_{D}-x_{B})^2+(y_{D}-y_{B})^2}$


Точки B и D принадлежат прямой $y=\frac{4}{3}x-3$ ⇒ $y_{B}=\frac{4}{3}x_{B}-3$ и $y_{D}=\frac{4}{3}x_{D}-3$

$BD=\sqrt{(x_{D}-x_{B})^2+(y_{D}-y_{B})^2}=\sqrt{(x_{D}-x_{B})^2+(\frac{4}{3}x_{D}-\frac{4}{3}y_{B})^2}=$

$=\sqrt{(x_{D}-x_{B})^2+\frac{16}{9}(x_{D}-x_{B})^2}=\sqrt{\frac{25}{9}(x_{D}-x_{B})^2}=\frac{5}{3}|x_{D}-x_{B}|$


$\frac{5}{3}|x_{D}-x_{B}|=10$
Из системы:

$\left\{\begin {matrix}x_{B}+x_{D}=6\\\frac{5}{3}|x_{D}-x_{B}|=10\end {matrix}\right.$

$\left\{\begin {matrix}x_{B}+x_{D}=6\\|x_{D}-x_{B}|=6\end {matrix}\right.$

$\left\{\begin {matrix}x_{B}+x_{D}=6\\x_{D}-x_{B}=6\end {matrix}\right.$ или $\left\{\begin {matrix}x_{B}+x_{D}=6\\x_{D}-x_{B}=-6\end {matrix}\right.$

$x_{D}=6$ или $x_{D}=0$ ⇒
m]x_{B}=0[/m] или $x_{D}=6$

Тогда

$y_{B}=\frac{4}{3}\cdot 0-3$ и $y_{D}=\frac{4}{3}\cdot 6-3$ ⇒ $y_{B}=-3$ и $y_{D}=5$

$y_{B}=\frac{4}{3}\cdot 6-3$ и $y_{D}=\frac{4}{3}\cdot 0-3$⇒ $y_{B}=5$ и $y_{D}=-3$

О т в е т. $(0;-3); (6;5)$