Задача 56746 Вычислить момент инерции относительно Ox...

nesharishi

6 января 2021 г. в 15:34

Вычислить момент инерции относительно Ox сферической оболочки x²+y²+z²=R²(x>=0).

exponenta

6 января 2021 г. в 17:33

★

r²=x²+z² – расстояние точки (x;y;z) до оси Ох


z²=R²–x²–y²

Дифференцируем обе части равенства по переменной х:

2z·z`<sub>x</sub>=–2x ⇒ z`_x=(–x/z)

Дифференцируем обе части равенства по переменной х:

2z·z`<sub>y</sub>=–2y ⇒ z`_y=(–y/z)

⇒
$\sqrt(1+(z`_{x})^2+(z`_{y})^2)=sqrt(1+(-\frac{x}{z})^2+(-\frac{y}{z})^2)=\sqrt{\frac{z^2+x^2+y^2}{z^2}}=\frac{R}{|z|}$

Значит, надо вычислить двойной интеграл:


$J_{(Ox)}= ∫∫ _{S_{(xoy)}}(x^2+z^2)\cdot \frac{R}{|z|}dxdy=∫∫ _{S_{(xoy)}}(x^2+R^2-x^2-y^2)\cdot \frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}dxdy=$

$= ∫ ^{R}_{0}( ∫ ^{\sqrt{R^2-x^2}}_{-\sqrt{R^2-x^2}}(R^2-y^2)\cdot \frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}dy)dx=$


$= R∫ ^{R}_{0}( ∫ ^{\sqrt{R^2-x^2}}_{-\sqrt{R^2-x^2}}(\frac{R^2-y^2}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}dy)dx=$