Задача 56484 ...
Условие
3. Написать формулы для производных ∂u/∂t и ∂u/∂s для функции
u = (1/3)^(x-2x) + cos((y + x)/2z), при x = x(s), y = y(t,s), z = z(t,s).
Решение
Δz ≈ dz
Δz=f(x+ Δx;y+ Δy)-f(x;y)
dz=z`_(z)dx+z`_(y)dy
f(x+ Δx;y+ Δy)-f(x;y)≈z`_(z)dx+z`_(y)dy
f(x+ Δx;y+ Δy))≈-f(x;y+z`_(z)dx+z`_(y)dy
Значение функции в плохой точке (x+ Δx;y+ Δy) слева заменяют значениями выражения справа
в "хорошей" точке (без Δх и Δy)
"хорошая" точка у Вас x=2; y=4
"плохие"
х=(2+0,01) ⇒ Δх=0,01
y=(4+0,02) ⇒ Δy=0,02
Выражение справа содержит
dx = Δх=0,01
dy=Δy=0,02
и
f(x;y)=[b]sqrt(2x+y^2)[/b]
и
частные производные
f`_(x)(x;y)=(sqrt(2x+y^2))`_(x)=(2x+y^2)`_(x)/2sqrt(2x+y^2)=2/2sqrt(2x+y^2)=[b]1/sqrt(2x+y^2)[/b]
f`_(y)(x;y)=(sqrt(2x+y^2))`_(y)=(2x+y^2)`_(y)/2sqrt(2x+y^2)=2y/2sqrt(2x+y^2)=[b]y/sqrt(2x+y^2)[/b]
А дальше разбирайтесь... с погрешностями и т.д.
Второй случай
"хорошая" точка у Вас x=2; y=4
"плохие"
х=(2-0,01) ⇒ Δх= - 0,01
y=(4- 0,02) ⇒ Δy= - 0,02
Выражение справа содержит
dx = Δх = - 0,01
dy= Δy = - 0,02
и
f(x;y)=[b]sqrt(2x+y^2)[/b]
и
частные производные
f`_(x)(x;y)=(sqrt(2x+y^2))`_(x)=(2x+y^2)`_(x)/2sqrt(2x+y^2)=2/2sqrt(2x+y^2)=[b]1/sqrt(2x+y^2)[/b]
f`_(y)(x;y)=(sqrt(2x+y^2))`_(y)=(2x+y^2)`_(y)/2sqrt(2x+y^2)=2y/2sqrt(2x+y^2)=[b]y/sqrt(2x+y^2)[/b]
3. Дифференцирование [b]сложной[/b] функции нескольких переменных