Задача 56038 у трикутнику заданными вершинами а,в,с...

Антон

9 декабря 2020 г. в 01:48

у трикутнику заданными вершинами а,в,с знайти довжину медианы АМ з вершины А довжину высоты AN з вершины А и гострий кут миж медианою АМ та высотою АN

Задание г)

exponenta

9 декабря 2020 г. в 22:53

★

1)
M([m]\frac{x_{B}+x_{C}}{2};\frac{y_{B}+y_{C}}{2}[/m])=(4;8)

Уравнение прямой АМ как прямой, проходящей через две точки:

[m]\frac{x-x{A}}{x_{M}-x{A}}=\frac{y-y{A}}{y_{M}-y{A}}[/m]

[m]\frac{x-(-2)}{4-(-2)}=\frac{y-0}{8-0}[/m] ⇒ [m]\frac{x+2}{6}=\frac{y}{8}[/m] ⇒ 4x–3y+8=0

[m]|AM|=\sqrt((4-(-2))^2+(8-0)^2)=\sqrt(36+64)=\sqrt(100)=10[/m]

2)
Составляем уравнение стороны BC, как прямой, проходящей через две точки:

[m]\frac{x-x{B}}{x_{C}-x{B}}=\frac{y-y{B}}{y_{C}-y{B}}[/m]

[m]\frac{x-1}{7-1}=\frac{y-12}{4-12}[/m] ⇒ [m]\frac{x-1}{6}=\frac{y-12}{-8}[/m] ⇒ 8x+6y–80=0;

4x+3y–40=0


n_BC=(4;3) – нормальный вектор прямой BC

одновременно является направляющим вектором высоты AN

Составляем уравнение высоты АN, как прямой, проходящей через точку А с заданным направляющим вектором ( см скрин):

[m]\frac{x+2}{4}=\frac{y}{3}[/m] ⇒3х–4у+6=0


Решаем систему уравнений:
{4x+3y–40=0
{3х–4у+6=0

находим координаты точки N

Затем длину AN как в 1)

3)
Угол между AM и AN равен углу между их направляющими векторами

Угол между векторами ( см второй скрин)

s_AM=(4;–3)
s_AM=(3;–4)


cos( ∠ s_AM,s_AM)=(4·3+(–3)·(–4))/(5·5)=24/25