Задача 55412 Найти координаты точки, какая...

Bogdan

6 ноября 2020 г. в 10:31

Найти координаты точки, какая симметричная точке P(–2,1) относительно прямой L: x+y–1=0

exponenta

6 ноября 2020 г. в 10:40

★

Симметричные точки лежат на перпендикуляре, проведенном к прямой и проходящем через точку Р.

Причем расстояния РО=ОР₁.

O– точка пересечения данной прямой и перпендикуляра.


Итак, сначала сосвтаим уравнение перпендикуляра к данной прямой , проходящего через точку Р.



Прямая $x+y-1=0$ задана общим уравнением с нормальным вектором n=(1;1)

Для перпендикулярной прямой этот вектор направляющий вектор.

Уравнение прямой, проходящей через точку$(x_{o};y_{o})$ c заданным направляющим вектором $(p;q)$

имеет вид:

$\frac{x-x_{o}}{p}=\frac{y-y_{o}}{q}$ ⇒ $\frac{x-(-2)}{1}=\frac{y-1}{1}$ ⇒ $x+2=y-1$⇒ $x-y+3=0$

Находим координаты точки М – точки пересечения данной прямой и перпендикуляра ( cм. скрин)

М(–1;2)


PM=MP₁ ⇒ M – середина PP₁

$x_{M}=\frac{x_{P_{1}}+x_{P}}{2}$ ⇒ $x_{P_{1}}=2x_{M}- x_{P}=2\cdot (-1)-(-2)=0$

$y_{M}=\frac{y_{P_{1}}+y_{P}}{2}$ ⇒ $y_{P_{1}}=2y_{M}- y_{P}=2\cdot 2-1=3$



О т в е т.P₁(0;3)