Задача 55307 13. Даны уравнения двух сторон...

grifana2

4 ноября 2020 г. в 15:51

13. Даны уравнения двух сторон параллелограмма $3x - 2y + 12 = 0$ и $x - 3y + 11 = 0$, а также точка $(2;2)$ пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмма и его диагоналей.
Ответ: $3x - 2y - 16 = 0$, $x - 3y - 3 = 0$, $x + 4y - 10 = 0$, $5x - 8y + 6 = 0$.

exponenta

4 ноября 2020 г. в 18:40

★

Найдем точку пересечения двух сторон, заданных уравнениями:

$\left\{\begin{matrix}3x-2y+12=0\\x-3y+11=0 \end{matrix}\right.$; $\left\{\begin{matrix}3\cdot (3y-11)-2y+12=0\\x=3y-11 \end{matrix}\right.$ ; $\left\{\begin{matrix}y=3\\x=-2\end{matrix}\right.$

Пусть это точка А (–2;3), тогда

точка М ( 2;2) – середина диагонали АС и

$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}$ ⇒ $x_{C}=2x_{M}- x_{A}=2\cdot 2-(-2)=6$

$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}$ ⇒ $y_{C}=2y_{M}- y_{A}=2\cdot 2-3=1$

Составляем уравнения прямых, параллельным двум данным и проходящим через точку С

$3x-2y+12=0$ ⇒Уравнение параллельных прямых : $3x-2y+m=0$

Подставляем координаты точки С:

$3\cdot 6-2\cdot 1+m=0$

$m=16$

$3x-2y+16=0$– уравнение прямой, параллельной $3x-2y+12=0$ и проходящей через точку С

Аналогично

$x-3y+11=0$ ⇒Уравнение параллельных прямых : $x-3y+n=0$

Подставляем координаты точки С:

$6-3\cdot 1+n=0$

$n=-3[m] [m]x-3y-3=0$ – уравнение прямой, параллельной $x-3y+11=0$ и проходящей через точку С


Уравнение диагонали АС как прямой, проходящей через две точки: A и M ( или А и С, см формулу в скрине)

Найдем координаты точки B – точки пересечения $x-3y+11=0$ и $3x-2y+16=0$

$\left\{\begin{matrix} x-3y+11=0\\3x-2y+16=0 \end{matrix}\right.$

Уравнение диагонали BD как прямой, проходящей через две точки: B и M ( см формулу в скрине)