Задача 55280 Задача 7. Найти площадь фигуры,...

Сергей_173044623

2 ноября 2020 г. в 22:41

Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

x² – 2x + y² = 0, x² – 4x + y² = 0, y = 0, y = x.

exponenta

2 ноября 2020 г. в 22:52

★

$S= ∫ ∫_{D} dxdy$


Полярные координаты:

$x= ρ cos φ$

$y= ρ sin φ$

$x^2+y^2= ρ ^2$

dxdy= ρ d ρ d φ


$x^2-2x+y^2= 0 ⇒ ρ ^2-2ρ cos φ=0 ⇒ ρ =2cos φ$

$x^2-4x+y^2=0 ⇒ ρ ^2-4ρ cos φ=0 ⇒ ρ =4cos φ$


Область D:
$0 ≤ φ ≤ \frac{π}{4}$

$2cos φ ≤ ρ ≤ 4cos φ$


$= ∫^{\frac{π}{4}}_{0}( ∫ ^{ 4cos φ}_{ 2cos φ} ρ d ρ )d φ =∫^{\frac{π}{4}}_{0}(\frac{ ρ^2}{2})|^{ 4cos φ}_{ 2cos φ}d φ=∫^{\frac{π}{4}}_{0}6cos^2 φ d φ =3∫^{\frac{π}{4}}_{0}(1+cos2 φ)d φ =(3 φ +\frac{3}{2}sin2 φ) | ^{\frac{π}{4}}_{0}=$

$=3 \frac{π}{4}+\frac{3}{2}sin(2 \cdot \frac{π}{4})=\frac{3π}{4}+\frac{3}{2}$