Задача 53327 cos2x+sin^2x = 3/4, [Pi;...

simo

15 сентября 2020 г. в 13:02

cos2x+sin²x = 3/4, [π; 2,5π]

sin(π/2+x) = sin2x, [–π; π/2]

cos2x–5√2cosx–5 = 0, [–3π; –3π/2]

exponenta

15 сентября 2020 г. в 13:15

★

Каждое уравнение сводится к простейшим.

Простейшие решают по формулам.


1)
cos2x=1–2sin²x

1–2sin²x+sin2^x=3/4

sin²x=1/2

sinx=1/2 или sinx=–1/2

x=(–1)^k·(π/6)+πk, k ∈ Z или x=(–1)ⁿ·(–π/6)+πn, n ∈ Z

Cм. рис. 1

Корни x=(–1)^k·(π/6)+πk, k ∈ Z в 1 и 2 четверти

x=(–1)ⁿ·(–π/6)+πn, n ∈ Z в 3 и 4 четвертях


Отбор корней на отрезке:
см. рис. 2

О т в е т. 7π/6; 11π/6; 13π/6



2)

По формулам приведения: sin((π/2)+x)=cosx
Уравнение принимает вид:

cosx =sin2x

cosx=2sinx·cosx

2sinx·cosx–cosx=0

cosx·(2sinx–1)=0

cosx=0 или 2sinx–1=0 ⇒ sinx=1/2


cosx=0 ⇒ x=(π/2)+πk, k ∈ Z

sinx=1/2 ⇒ x=(–1)^k·(π/6)+πk, k ∈ Z

Отрезку [–π;π/2] принадлежат корни:

–π/6; π/2

3)
cos2x=2cos²x–1

2cos²x–5√2cosx–6=0

D=50–4·2·(–6)=98

√D=7√2

сosx=–√2/2; cosx=3√2 – уравнение не имеет корней, |cosx| ≤ 1, 3√2>1


сosx=–√2/2; ⇒ x= ± (3π/4)+2πn, n ∈ Z

Отрезку [–3π;–3π/2] принадлежат корни:

– (3π/4)–2π=–11π/4;– (3π/4)
(3π/4)–2π=–5π/4