а) Рассмотрим натуральные числа от 1 до 10. Требуемая прогрессия из 6 чисел - среди них, от 1 до 6, с разностью 1.
г) Рассмотрим натуральные числа от 1 до 1000. Требуемая прогрессия из 32 чисел среди них, от 1 до 776.
б и в) Докажем, что такая прогрессия не может иметь более 32 членов.
Заметим, что разность такой прогрессии при числе членов, большем 8, должна делиться на 5. Рассмотрим все последовательные целые числа от 0 до 99...99 (n девяток). Среди них последние 22...22 числа содержат в своей записи 8 или 9. Значит, можно использовать только первые 77...78 чисел (n-1 семерка). Но они разделяются на 8 групп по 7...77 чисел (n-1 семерка), отделяемые друг от друга 2...22 числами (n-1 двойка). Значит, если мы хотим использовать хотя бы две такие группы, придется взять разность прогрессии не меньше 2...23, а с учетом необходимости делиться на 5 - не меньше 2...25. Членов с такой разностью в каждой из 8 групп не может быть больше 4, а значит, всего членов не больше 32.
Решение было бы изящнее, если бы я умел пользоваться в этом письме записью степени.
Г.Левитас
Замечу, что задача б для меня выглядит плохо: я не могу ее решить, не решив задачу в, а значит, не мог бы получить за нее очки.
