Задача 7827 Четырёхугольник ABCD описан около...

larisashakirova

15 марта 2016 г.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности радиуса R. Его диагональ BD проходит через центр О этой окружности. Докажите, что MN² = МО² + NO², где М и N — точки касания окружности со сторонами ВС и BD, соответственно, ОВ = 2R и OD =2R/√3

ОВ=2R, OM=R => ∠OBM=30, ∠BOM=90–30=60. OD=2R/√3, ON=R => sin∠NOD=R/(2R/√3)=√3/2 => ∠NOD = 60 => ∠MON=180–30–60=90 => треугольник MON прямоугольный => по теореме Пифагора MN² = МО² + NO² что и требовалось доказать.

Ответ: В решение