Задача 77873 y''+5y'+6y=0;y(0)=0;y'(0)=1...
Условие
Решение
y`` +5y`+6y =0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+5k+6=0
D=5^2-4*6=25-24=1
k_(1)=(-5-1)/2=-3; k_(2)=(-5+1)/2=-2– [i]корни характеристического уравнения [/i], действительные различные.
В этом случае общее решение имеет вид:
y=C_(1)·e^(k_(1)*x)+C_(2)·e^(k_(2)*x)
y=C_(1)·e^(-3*x)+C_(2)·e^(-2*x) – общее решение уравнения y`` +5y`+6y =0
Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее условию:
y(0)=0, т. е при х=0 y=0 ⇒ y([b]0[/b])=C_(1)·e^(-3*[b]0[/b])+C_(2)·e^(-2*[b]0[/b]) ⇒ [red]0=C_(1)+C_(2)[/red]
y`(0)=1, т.е при х=0 y`=1
найдем
y`=(C_(1)·e^(-3*x)+C_(2)·e^(-2*x))`
y`=C_(1)*e^(-3*x)*(-3x)`+C_(2)·e^(-2*x)*(-2x)`
y`=-3*C_(1)*e^(-3*x)-2*C_(2)*e^(-2*x) ⇒ y`([b]0[/b])=-3*C_(1)*e^(-3*[b]0[/b])-2*C_(2)*e^(-2*[b]0[/b]) ⇒ [red]1=-3C_(1)-2C_(2)[/red]
получаем систему двух уравнений:
{[red]0=C_(1)+C_(2)[/red] ⇒ С_(2)=-С_(1)
{[red]1=-3C_(1)-2C_(2)[/red] ⇒ 1=-3С_(1)-2*(-С_(1)) ⇒ С_(1)=-1
С_(2)=1
О т в е т.
y=C_(1)·e^(-3*x)+C_(2)·e^(-2*x) – общее решение уравнения
y=-e^(-3*x)+e^(-2*x) – частное решение уравнения
