Задача 77667 Найдите значение выражения...

Abramov_583556653

26 мая 2024 г. в 08:18

Найдите значение выражения $\sqrt{30-a^2}+\sqrt{10-a^2}$, если известно, что $\sqrt{30-a^2}-\sqrt{10-a^2}=4$

exponenta

26 мая 2024 г. в 09:01

★

Умножим обе части равенства

$\sqrt{30–a^2}–\sqrt{10–a^2}=4$

на

$\sqrt{30–a^2}+\sqrt{10–a^2}$


получим:

$(\sqrt{30–a^2}–\sqrt{10–a^2})(\sqrt{30–a^2}+\sqrt{10–a^2})=4(\sqrt{30–a^2}+\sqrt{10–a^2})$

$(\sqrt{30–a^2})^2-(\sqrt{10–a^2})^2=4(\sqrt{30–a^2}+\sqrt{10–a^2})=$

$(30–a^2)-(10–a^2)=4(\sqrt{30–a^2}+\sqrt{10–a^2})$

$30-10=4(\sqrt{30–a^2}+\sqrt{10–a^2})$

$20=4(\sqrt{30–a^2}+\sqrt{10–a^2})$

$\sqrt{30–a^2}+\sqrt{10–a^2}=5$

Удачник66

26 мая 2024 г. в 11:01

Умножим сумму корней на разность корней, получится разность квадратов.
В данном случае разность подкоренных выражений:
$(\sqrt{30-a^2} - \sqrt{10-a^2})(\sqrt{30-a^2} + \sqrt{10-a^2}) = (30-a^2) - (10-a^2) = 20$

Если известно, что $\sqrt{30-a^2} - \sqrt{10-a^2} = 4$, то
$\sqrt{30-a^2} + \sqrt{10-a^2} = \frac{20}{(\sqrt{30-a^2} - \sqrt{10-a^2})} = \frac{20}{4} = 5$