Задача 77629 ...
Условие
xy' +2y +xy² =0
выполнена подстановка y=u·v. Тогда функция u равна...
Решение
y`+(2/x)y =-y^2
Уравнение Бернулли вида
y‘+p(x)y=f(x)⋅y^(n), n ≠ 1
p(x)=2/x
f(x)=-1
Делим обе части уравнения на y^2
(y`/y^2)+(2/x)*(1/y)=-1
Замена переменной:
z=1/y ⇒ y=1/z
y^2=1/z^2
и тогда
y‘=−(1/z^2)⋅z‘ ⇒ y‘=−y^2⋅z‘
Уравнение принимает вид:
-z`+(2/x)*z=-1
или
z`-(2/x)*z=1 получили линейное уравнение первого порядка.
Решаем методом Бернулли: находим решение в виде произведения двух функций
z=u⋅v
z‘=u‘⋅v+u⋅v‘
Подставляем в уравнение: z`-(2/x)*z=1
u‘⋅v+u⋅v‘-(2/x)u⋅v=1
Группируем:
u‘⋅v+u⋅(v‘−(2/x)⋅v)=1
Полагаем
(v‘−(2/x)⋅v)=0
Тогда
u‘⋅v+u⋅0=1
Решаем два уравнения с разделяющимися переменными:
(v‘−(2/x)⋅v)=0 ⇒ dv.v=2dx/x ⇒ ∫dv/v=∫2dx/x ⇒ln|v|=2ln|x|⇒[b]v=x^2[/b]
подставляем во второе
⇒
u‘⋅x^2−u⋅0=1 ⇒ u‘=1/x^2 ⇒ du=(1/x^2)dx ⇒ ∫du=∫dx/x^2 ⇒ [b]u=(−1/x)+C[/b]
z=x^2*((-1/x)+C)
z=-x+Cx^2
Обратный переход к переменной y:
z=1/y ⇒
y=1/z
[b]y=1/(-x+Cx^2)[/b]
