Задача 77596 Угол между боковой гранью правильной...

664e51e6d915332e35316351

22 мая 2024 г. в 08:15

Угол между боковой гранью правильной пирамиды S ABCD и плоскостью основания равен 30°. Найди косинус угла между боковыми гранями пирамиды.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23 мая 2024 г. в 05:59

★

MABCD– правильная пирамида
АВСD– квадрат

∠ МНО=30 °

Пусть сторона основания равна x

АВ=ВС=СD=AD=x
OH=(1/2)AB=x/2

Из прямоугольного треугольника МНО
МО=НО·tg30=(x/2)·√3/3=x√3/6
MH=2MO= x·√3/3 ( катет против угла в 30 ° равен половине гипотенузы)



h=x·√3/3 – апофема боковой грани



AC=BD=x·√2 – диагонали квадрата ABCD

Из прямоугольного треугольника МОА

MA²=MO²+AO²=(x√3/6)²+(x·√2/2)²=(3x²/36)+(2x²/4)=7x²/12

MA=x√7/√12


Из равнобедренного треугольника MAB

AE· MB=AB·h

MB=MA=x√7/√12

AE=2x/√7


Из равнобедренного треугольника AEC

по теореме косинусов

cos ∠ AEC=(AE²+EC²–AC²)/(2·AE·EC)=–3/4=–0,75