Задача 77379 a) Решите...

644fdb643b74286fc3ffa777

5/8/2024 5:45:21 PM

a) Решите уравнение:
[m]\frac{1}{\sin^2(x-\pi)} + \frac{31}{15 \sin(x)} + \frac{2}{15} = 0[/m]

b) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу:
[m][2\pi; 4\pi][/m]

626fab9a354ab65fb2f43abb

5/8/2024 7:03:17 PM

★

[m]\frac{1}{\sin^2(\pi-x)} + \frac{31}{15\sin x} + \frac{2}{15} = 0[/m]
а) sin(π - x) = sin x
Приводим к общему знаменателю 15sin^2 x:
[m]\frac{15}{15\sin^2 x} + \frac{31\sin x}{15\sin^2 x} + \frac{2\sin^2 x}{15\sin^2 x} = 0[/m]
Область определения для дроби:
sin x ≠ 0
Избавляемся от знаменателя:
15 + 31sin x + 2sin^2 x = 0
Получили квадратное уравнение относительно sin x
a = 2; b = 31; c = 15
D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4*2*15 = 961 - 120 = 841 = 29^2
sin x = (-b - sqrt(D))/(2a) = (-31 - 29)/4 = -60/4 < -1
Этот корень нам не подходит.
sin x = (-b + sqrt(D))/(2a) = (-31 + 29)/4 = -2/4 = -1/2
[b]x = (-1)^n*(-π/6) + π*n, n ∈ Z[/b]

б) Корни на промежутке [2π; 4π]
n = 2; x = (-1)^2*(-π/6) + π*2 = -π/6 + 2π < 2π
n = 3; x = (-1)^3*(-π/6) + π*3 = π/6 + 3π = 19π/6
n = 4; x = (-1)^4*(-π/6) + π*4 = -π/6 + 4π = 23π/6
[b]x1 = 19π/6; x2 = 23π/6[/b]