Задача 76838 ...
Условие
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0.5π; 2π].
Решение
Формула косинуса двойного аргумента:
cos 2x = 1 - 2sin^2 x
а) Решаем уравнение:
16sin^4 x + 8(1 - 2sin^2 x) - 7 = 0
16sin^4 x + 8 - 16sin^2 x - 7 = 0
16sin^4 x - 16sin^2 x + 1 = 0
Получили биквадратное уравнение относительно sin x
D/4 = (-8)^2 - 16*1 = 64 - 16 = 48 = (4sqrt(3))^2
1) [m]\sin^2 x = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{16} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{8} = \frac{3 - 2\sqrt{3} +1}{8}= \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{8}[/m]
[m]\sin x = ± \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{8}}[/m]
Найдем cos 2x:
[m]\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - \frac{8 - 4\sqrt{3}}{8} = \frac{8 - 8 + 4\sqrt{3}}{8} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
2x = ± π/6 + 2π*n
x1 = -π/12 + π*n
x2 = π/12 + π*n
2) [m]\sin^2 x = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{8} = \frac{3 + 2\sqrt{3} +1}{8}= \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{8}[/m]
[m]\sin x = ± \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{8}}[/m]
Найдем cos 2x:
[m]\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - \frac{8 + 4\sqrt{3}}{8} = \frac{8 - 8 - 4\sqrt{3}}{8} = -\frac{4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
2x = ± 5π/6 + 2π*k
x3 = -5π/12 + π*n
x4 = 5π/12 + π*n
Решения уравнения:
[b]x1 = -π/12 + π*n; x2 = π/12 + π*n; x3 = -5π/12 + π*n; x4 = 5π/12 + π*n[/b]
б) Корни на отрезке [0,5π; 2π]:
n = 0: x = π/12 < π/2 - не подходит
n = 1; x1 = -π/12 + π = 11π/12 - подходит; x2 = π/12 + π = 13π/12 - подходит
n = 2: x = -π/12 + 2π = 23π/12 - подходит
k = 0: x = 5π/12 < π/2 - не подходит
k = 1; x1 = -5π/12 + π = 7π/12 - подходит; x2 = 5π/12 + π = 17π/12 - подходит
k = 2; x = -5π/12 + 2π = 19π/12 - подходит
Подходящие корни:
[b]x1 = 11π/12; x2 = 13π/12; x3 = 23π/12;
x4 = 7π/12; x5 = 17π/12; x6 = 19π/12[/b]
