Задача 76030 Найдите все значения a, при которых...

Mafioznik

27 февраля 2024 г. в 11:03

Найдите все значения a, при которых уравнение a² – ax – 2x² – 0,5x – 2a + |a + 2,5x| = 0 имеет ровно три различных корня.

exponenta

28 февраля 2024 г. в 10:55

★

Раскрываем знак модуля:

1)
Если (a+2,5 x) ≥ 0, то |a+2,5x|=a+2,5x

уравнение принимает вид:

a²–ax–2x²–0,5x–2a+a+2,5x=0

2x²+(a–2)x–(a²–a)=0

D=(a–2)²+4·2·(a²–a)=a²–4a+4+8a²–8a=9a²–12a+4=(3a–2)²

Так как D ≥ 0, уравнение имеет два или один корень.

x₁=–a+1; x₂=a/2

Корни должны удовлетворять условию:

(a+2,5 x) ≥ 0



2)
Если (a+2,5 x) < 0, то |a+2,5x|=–a–2,5x

уравнение принимает вид:

a²–ax–2x²–0,5x–2a–a–2,5x=0

2x²+(a+3)x–(a²–3a)=0

D=(a+3)²+4·2·(a²–3a)=a²–6a+9+8a²–12a=9a²–18a+9=9(a–1)²

Так как D ≥ 0, уравнение имеет два или один корень.

x₃=–a; x₄=(a–3)/2

Корни должны удовлетворять условию:

(a+2,5 x) < 0


Поскольку по требованию задачи корней должно быть три, то

либо первое уравнение имеет два корня, а второе один

либо первое уравнение имеет один корень, а второе два

Поэтому параметр а определяется из условий

{a+2,5·(a/2) ≥ 0 ⇒ a ≥0
{a+2,5·(–a+1) ≥ 0 ⇒
{a+2,5·(–a) <0 ⇒a<0
{a+2,5(a–3)/2 ≥ 0

система не имеет решений

{a+2,5·(a/2) ≥ 0⇒ a ≥0
{a+2,5·(–a+1) ≥ 0⇒ a ≤ 5/3
{a+2,5·(–a)≥ 0 ⇒ a ≤ 0
{a+2,5·(a–3)/2 <0⇒ 2a+2,5a–7,5<0⇒ a<5/3

⇒ a=0


{a+2,5·(a/2) < 0⇒ a<0
{a+2,5·(–a+1) ≥ 0⇒ a ≤ 5/3
{a+2,5·(a–3)/2 < 0⇒ a<5/3
{a+2,5·(–a) <0⇒ a>0

⇒система не имеет решений

{a+2,5·(a/2) ≥ 0 ⇒ a ≥0
{a+2,5·(–a+1) <0⇒ a>5/3
{a+2,5·(a–3)/2 < 0 ⇒ a<5/3
{a+2,5·(–a) <0

⇒система не имеет решений


О т в е т. a=0