Задача 76030 Найдите все значения a, при которых...
Условие
Решение
1)
Если (a+2,5 x) ≥ 0, то |a+2,5x|=a+2,5x
уравнение принимает вид:
a^2-ax-2x^2-0,5x-2a+a+2,5x=0
2x^2+(a-2)x-(a^2-a)=0
D=(a-2)^2+4*2*(a^2-a)=a^2-4a+4+8a^2-8a=9a^2-12a+4=(3a-2)^2
Так как D ≥ 0, уравнение имеет два или один корень.
x_(1)=-a+1; x_(2)=a/2
Корни должны удовлетворять условию:
(a+2,5 x) ≥ 0
2)
Если (a+2,5 x) < 0, то |a+2,5x|=-a-2,5x
уравнение принимает вид:
a^2-ax-2x^2-0,5x-2a-a-2,5x=0
2x^2+(a+3)x-(a^2-3a)=0
D=(a+3)^2+4*2*(a^2-3a)=a^2-6a+9+8a^2-12a=9a^2-18a+9=9(a-1)^2
Так как D ≥ 0, уравнение имеет два или один корень.
x_(3)=-a; x_(4)=(a-3)/2
Корни должны удовлетворять условию:
(a+2,5 x) < 0
Поскольку по требованию задачи корней должно быть три, то
либо первое уравнение имеет два корня, а второе один
либо первое уравнение имеет один корень, а второе два
Поэтому параметр а определяется из условий
{a+2,5*(a/2) ≥ 0 ⇒[red] a ≥0 [/red]
{a+2,5*(-a+1) ≥ 0 ⇒
{a+2,5*(-a) <0 ⇒[red]a<0[/red]
{a+2,5(a-3)/2 ≥ 0
система не имеет решений
{a+2,5*(a/2) ≥ 0⇒ [red] a ≥0 [/red]
{a+2,5*(-a+1) ≥ 0⇒ a ≤ 5/3
{a+2,5*(-a)≥ 0 ⇒ [red] a ≤ 0 [/red]
{a+2,5*(a-3)/2 <0⇒ 2a+2,5a-7,5<0⇒ a<5/3
⇒ a=0
{a+2,5*(a/2) < 0⇒ [red]a<0[/red]
{a+2,5*(-a+1) ≥ 0⇒ a ≤ 5/3
{a+2,5*(a-3)/2 < 0⇒ a<5/3
{a+2,5*(-a) <0⇒ [red]a>0[/red]
⇒система не имеет решений
{a+2,5*(a/2) ≥ 0 ⇒ a ≥0
{a+2,5*(-a+1) <0⇒ [red]a>5/3[/red]
{a+2,5*(a-3)/2 < 0 ⇒ [red]a<5/3[/red]
{a+2,5*(-a) <0
⇒система не имеет решений
О т в е т. a=0