Задача 75918 ...

vien

20 февраля 2024 г. в 01:27

З вершини прямого кута C трикутника ABC проведено перпендикуляр
CD до площини трикутника. DB і DA – похилі.

Відомо, що:

CD = 1см;
DB= 3см;
DA= √3 см.

Знайти:
1. довжину невідомої похилої;
2. довжину невідомої проекції;
3. довжину відрізка АВ;
4. довжину медіани CM;
5. довжину відрізка DM;
6. відстань від точки В до площини DCM.

exponenta

21 февраля 2024 г. в 05:39

★

CD ⊥ плоскости АВС ⇒ СD ⊥ BC и СD ⊥ AC


Δ CDB – прямоугольный

по теореме Пифагора

CB²=DB²–DC²=3²–1²=8



Δ CDA – прямоугольный

по теореме Пифагора

CA²=DA²–DC²=(√3)²–1²=2


Δ ABC – прямоугольный

по теореме Пифагора

AB²=BC²+AC²=8+2=10

AB=√10



Медиана СМ прямоугольного треугольника

CM=AB/2=√10/2


DM²=DC²+DM²=1²+(√10/2)²=1+(10/4)=14/4

DM=√14/2


BK ⊥ CM

DC ⊥ плоскости АВС ⇒ DC ⊥ BK


BK ⊥ двум пересекающимся прямым плоскости DCK ⇒ BK перпендикулярна плоскости DCK


BK – расстояние от точки В до плоскости DCK


Δ CMB равнобедренный
СM=BM=√10/2
BC=√8

Проведем MP ⊥ CB
Получим прямоугольный треугольник MPB

По теореме Пифагора

MP²=(√10/2)²–(√8/2)²=(10/4)–(8/4)=2/4

MP=√2/2


S _{Δ PCB}=(1/2)BC·MP

S _{Δ PCB}=(1/2)CM·BK


(1/2)BC·MP=(1/2)CM·BK


⇒ BK=√8·√2/√10=16/√10=16√10/10=8√10/5