Задача 75617 ...

lelya_miwen

30 января 2024 г. в 09:30

Задание 4. Исследуйте функцию, используя общую схему, и постройте ее график:

a) y = (x – 1)(x² – 5x + 4);

б) y = – (1 + 2x) / (1 + x)²;

exponenta

31 января 2024 г. в 09:32

★

Область определения (– ∞ ;–1)U(–1;+ ∞ )
Область определения Не симметрична относительно 0 , значит
функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция не является периодической

Прямая $x=-1$ является вертикальной асимптотой.

Так как $lim_{x → -1}(-\frac{1+2 x}{(1+x)^2})=+ ∞$


Горизонтальная асимптота $y=0$ , так как

$lim_{x → ∞}(-\frac{1+2 x}{(1+x)^2})= 0$


Наклонных асимптот нет, так как:
$k= lim_{x → ∞}\frac{f(x)}{x}=lim_{x → ∞}(-\frac{1+2 x}{(1+x)^2\cdot x})= 0$



Исследование с помощью первой производной:

$y`=(-\frac{1+2 x}{(1+x)^2})`$

$y`=-\frac{(1+2 x)`\cdot (1+x)^2-(1+2x)\cdot ((1+x)^2)`}{((1+x)^2)^2}$


$y`=-\frac{2\cdot (1+x)^2-(1+2x)\cdot 2(1+x)}{(1+x)^3}$

$y`=-\frac{2+2x-2-4x}{(1+x)^3}$

$y`=\frac{2x}{(1+x)^3}$

y`=0

x=0
Расставляем знак производной на области определения

____+_ (–1) ___–___ (0) ____+__

y`>0 на (– ∞ ; –1) и на (0;+ ∞ )

Значит функция возрастает на (– ∞ ; –1) и на (0;+ ∞ )

y`<0 на (–1;0)

Значит, функция убывает на (–1;0)


x=0 – точка минимума, производная меняет знак с – на +


$y(-1)=\frac{1+2 \cdot (-1)}{(1-0)^2}=-1$


Исследование с помощью второй производной:


$y``=(y`)`=(\frac{(2x)}{(1+x)^3})`=\frac{2-4x}{(1+x)^4}$

х=1/2 – точка перегиба

$y`` >0$ на (– ∞;–1) и на (–1;1/2) ⇒ функция выпукла вниз на (– ∞;–1) и на (–1;1/2)

$y`` <0$ на(–1;1/2) ⇒ функция выпукла вверх на(–1;1/2)