Задача 75609 ...

640f425e46b0501c3db980ca

30 января 2024 г. в 08:36

а) Решите уравнение sin⁴ (x/4) – cos⁴ (x/4) = sin (π/2 + x)

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие [4π; 7π].

626fab9a354ab65fb2f43abb

30 января 2024 г. в 09:46

★

[m]sin^4 \frac{x}{4} - cos^4 \frac{x}{4} = sin (\frac{\pi}{2} + x)[/m]
а) По формуле разности квадратов:
[m]sin^4 \frac{x}{4} - cos^4 \frac{x}{4} = (sin^2 \frac{x}{4} - cos^2 \frac{x}{4})(sin^2 \frac{x}{4} + cos^2 \frac{x}{4})[/m]

Основное тригонометрическое тождество:
sin² a + cos² a = 1
По формулам приведения:
sin (π/2 + a) = cos a

По формуле косинуса двойного угла:
cos (2a) = cos² a – sin² a = 2cos² a – 1 = 1 – 2sin² a
Поэтому:
[m]sin^2 \frac{x}{4} - cos^2 \frac{x}{4} = -cos \frac{x}{2}[/m]

Подставляем всё это в уравнение:
[m]-cos \frac{x}{2} \cdot 1 = cos\ x[/m]
Воспользуемся опять формулой косинуса двойного угла:
[m]-cos \frac{x}{2} = 2cos^2 \frac{x}{2} - 1[/m]
Переносим левую часть направо:
[m]0 = 2cos^2 \frac{x}{2} - 1 + cos \frac{x}{2}[/m]
Получили квадратное уравнение относительно [m]cos \frac{x}{2}[/m]
[m](cos \frac{x}{2} + 1)(2cos \frac{x}{2} - 1) = 0[/m]

1) cos x/2 = –1
x/2 = π + 2π·k, k ∈ Z
x1 = 2π + 4π·k, k ∈ Z
2) cos x/2 = 1/2
x/2 = ± π/3 + 2π·n, n ∈ Z
x2 = ± 2π/3 + 4π·n, n ∈ Z

б) Корни на промежутке [4π; 7π]
x1 = 2π + 4π = 6π
x2 = 2π/3 + 4π = 14π/3

Ответ:
а) x1 = 2π + 4π·k, k ∈ Z; x2 = ± 2π/3 + 4π·n, n ∈ Z
б) x1 = 6π; x2 = 14π/3