Задача 75609 ...
Условие
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие [4π; 7π].
Решение
[b]а)[/b] По формуле разности квадратов:
[m]sin^4 \frac{x}{4} - cos^4 \frac{x}{4} = (sin^2 \frac{x}{4} - cos^2 \frac{x}{4})(sin^2 \frac{x}{4} + cos^2 \frac{x}{4})[/m]
Основное тригонометрическое тождество:
sin^2 a + cos^2 a = 1
По формулам приведения:
sin (π/2 + a) = cos a
По формуле косинуса двойного угла:
cos (2a) = cos^2 a - sin^2 a = 2cos^2 a - 1 = 1 - 2sin^2 a
Поэтому:
[m]sin^2 \frac{x}{4} - cos^2 \frac{x}{4} = -cos \frac{x}{2}[/m]
Подставляем всё это в уравнение:
[m]-cos \frac{x}{2} \cdot 1 = cos\ x[/m]
Воспользуемся опять формулой косинуса двойного угла:
[m]-cos \frac{x}{2} = 2cos^2 \frac{x}{2} - 1[/m]
Переносим левую часть направо:
[m]0 = 2cos^2 \frac{x}{2} - 1 + cos \frac{x}{2}[/m]
Получили квадратное уравнение относительно [m]cos \frac{x}{2}[/m]
[m](cos \frac{x}{2} + 1)(2cos \frac{x}{2} - 1) = 0[/m]
1) cos x/2 = -1
x/2 = π + 2π*k, k ∈ Z
[b]x1 = 2π + 4π*k, k ∈ Z[/b]
2) cos x/2 = 1/2
x/2 = ± π/3 + 2π*n, n ∈ Z
[b]x2 = ± 2π/3 + 4π*n, n ∈ Z[/b]
[b]б)[/b] Корни на промежутке [4π; 7π]
x1 = 2π + 4π = 6π
x2 = 2π/3 + 4π = 14π/3
Ответ:
а) x1 = 2π + 4π*k, k ∈ Z; x2 = ± 2π/3 + 4π*n, n ∈ Z
б) x1 = 6π; x2 = 14π/3
