Задача 75524 найти все значения x при каждом из...

65361fda86ce4658efcf2f63

1/23/2024 3:22:14 AM

найти все значения x при каждом из которых неравенство (2-a)*x^3+(1-2a)*x^2-6x+(5+4a-a^2)<0 выполняется хотя бы при одном значении a, принадлежащем отрезку [-1;2]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

1/23/2024 7:24:03 AM

★

Это кубическое неравенство относительно переменной х можно представить как квадратное неравенство относительно
параметра а

a^2+(x^3+2x^2-4)a-(2x^3+x^2-6x+5) [b]>[/b]0

a- переменная; a ∈ [–1, 2]

х- параметр


Пусть

f_(x) (a)=a^2+(x^3+2x^2-4)a-(2x^3+x^2-6x+5)

квадратичная функция относительно переменной a , график - парабола, ветви которой направлены вверх

Тогда вопрос задачи можно переформулировать так:

при каких значениях[b] параметра x[/b] квадратичная функция y= f_(x)(a) принимает хотя бы одно положительное значение отрезке [–1, 2] ?

Значит ограничения на параметр получим из условий

f_(x)(-1)>0
ИЛИ
f_(x)(2)>0

f_(x)(-1)=(-1)^2+(x^3+2x^2-4)*(-1)-(2x^3+x^2-6x+5)=-3x^3-3x^2+6x
f_(x)(2)=2^2+(x^3+2x^2-4)*2-(2x^3+x^2-6x+5)=3x^2+6x-9

Решаем неравенства
-3x^3-3x^2+6x>0
ИЛИ
3x^2+6x-9>0

-3x(x^2+x-2) >0 ⇒ x(x-1)(x+2) <0
ИЛИ
3(x^2+2x-3)>0 ⇒ (x-1)(x+3) >0

[i]объединяем[/i] ответы и получаем

(- ∞ ;-2)U(0;1)U(1;+ ∞ )