Задача 75325 Для степенного ряда найти интервалы...
Условие
...
и исследовать поведение в граничных точках интервала.
Решение
Ряд из модулей
[m] ∑ \frac{1}{(n+1)5^{n}}\cdot x^{n} [/m]
сходится по признаку Даламбера.
[m] R = lim_{n → ∞} \frac{\frac{1}{(n+1)5^{n}}}{\frac{1}{((n+1)+1)5^{n+1}}}=5[/m]
интервал сходимости (-5;5)
Для данного ряда
сдвиг на 3 единицы вправо
(3-5;3+5)=(-2;8)- интервал сходимости
Исследуем сходимость на концах интервала:
x=-2
получаем ряд
{m] ∑ \frac{(-1)^{n}}{(n+1)5^{n}} (-5)^{n}= 1+1+...+1+... [/m]- последовательность его частичных сумм → ∞
Ряд расходится
x=8
получаем ряд
{m] ∑ \frac{(-1)^{n}}{(n+1)5^{n}} 5^{n}=-1+1-1+1-1+1+... [/m]- последовательность его частичных сумм, состоит из -1 и 0 и не имеет предела
Ряд расходится
О т в е т. (-2;8)