Задача 75325 Для степенного ряда найти интервалы...

Alg

12 января 2024 г. в 05:53

Для степенного ряда найти интервалы сходимости

...

и исследовать поведение в граничных точках интервала.

exponenta

13 января 2024 г. в 06:32

★

$∑ \frac{(-1)^{n}}{(n+1)5^{n}}\cdot x^{n}$ – знакочередующийся ряд

Ряд из модулей

$∑ \frac{1}{(n+1)5^{n}}\cdot x^{n}$

сходится по признаку Даламбера.




$R = lim_{n → ∞} \frac{\frac{1}{(n+1)5^{n}}}{\frac{1}{((n+1)+1)5^{n+1}}}=5$

интервал сходимости (–5;5)



Для данного ряда

сдвиг на 3 единицы вправо

(3–5;3+5)=(–2;8)– интервал сходимости


Исследуем сходимость на концах интервала:

x=–2

получаем ряд

{m] ∑ \frac{(–1)^{n}}{(n+1)5^{n}} (–5)^{n}= 1+1+...+1+... [/m]– последовательность его частичных сумм → ∞

Ряд расходится

x=8

получаем ряд

{m] ∑ \frac{(–1)^{n}}{(n+1)5^{n}} 5^{n}=–1+1–1+1–1+1+... [/m]– последовательность его частичных сумм, состоит из –1 и 0 и не имеет предела

Ряд расходится

О т в е т. (–2;8)