Задача 74792 Найти на гиперболе x^2/2 - y^2 = 1...

sero

15 декабря 2023 г. в 03:50

Найти на гиперболе x²/2 – y² = 1 точку, ближайшую к точке (3,0) В ответе указать сумму модулей координат.

exponenta

15 декабря 2023 г. в 07:36

★

Пусть M(x; ±$\sqrt{\frac{x^2}{2}-1}$)– точка на гиперболе

N(3;0)

MN²=(3–x)²+(0–(±$\sqrt{\frac{x^2}{2}-1})$)²=$9-6x+x^2+\frac{x^2}{2}-1$

MN=$\sqrt{9-6x+x^2+\frac{x^2}{2}-1}=\sqrt{\frac{3x^2}{2}-6x+8}$

MN – принимает наименьшее значение, когда квадратный трехчлен принимает наименьшее значение

А квадратный трехчлен ( график парабола, ветви вверх) принимает наименьшее значение в вершине параболы

т.е в точке x=2

$y=± \sqrt{\frac{x^2}{2}-1}=± \sqrt{\frac{2^2}{2}-1}= ± 1$ ( две точки, см рис) (2;1) и (2;–1)


Сумма модулей координат точки:

2+1=3