Задача 74729 Основой пирамиды является ромб с острым...

643af077b5eff0214304b241

12/13/2023 12:02:14 PM

Основой пирамиды является ромб с острым углом а, а его меньшая диагональ равна d. Каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен B. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12/13/2023 1:46:26 PM

★

BD=d
Диагонали ромба [i] взаимно перпендикулярны[/i] и в точке пересечения делятся пополам
Диагонали ромба -[i] биссектрисы[/i] углов ромба

Из прямоугольного треугольника АОВ:
ctg ∠ BAO=AO/BO ⇒ АО=BO*ctg ( α /2)

BO=(1/2)BD=(1/2)*d

AO=(1/2)*d*ctg ( α /2)

AO=(1/2)AC

АС=2*(d/2)*ctg( α /2)=d*ctg( α /2)

sin( α/2)=BO/AB

[b]AB=(d/2)/(sin( α/2))[/b] - сторона ромба

h_(ромба)=AB*sin α =[b](d/2)/(sin( α/2))[/b] *sin α=[b](d/2)/(sin( α/2))[/b] *(2sin( α /2)*cos( α /2))/(sin( α/2))=d*cos( α /2)

MK=h_(ромба)=[b]d*cos( α /2)[/b]

Радиус шара найдем как радиус окружности, вписанной в треугольник SMN


SN=SM=OK/cos β =(1/2)*d*cos( α /2)/cos β

r_(шара)=S_( Δ MSN)/p=(1/2)* MN*SN*sin β/( (1/2)*d*cos( α /2)/cos β +(1/2)*d*cos( α /2)/cos β +d*ctg( α /2))