Задача 74729 Основой пирамиды является ромб с острым...

643af077b5eff0214304b241

13 декабря 2023 г. в 12:02

Основой пирамиды является ромб с острым углом а, а его меньшая диагональ равна d. Каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен B. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

13 декабря 2023 г. в 01:46

★

BD=d
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам
Диагонали ромба – биссектрисы углов ромба

Из прямоугольного треугольника АОВ:
ctg ∠ BAO=AO/BO ⇒ АО=BO·ctg ( α /2)

BO=(1/2)BD=(1/2)·d

AO=(1/2)·d·ctg ( α /2)

AO=(1/2)AC

АС=2·(d/2)·ctg( α /2)=d·ctg( α /2)

sin( α/2)=BO/AB

AB=(d/2)/(sin( α/2)) – сторона ромба

h_ромба=AB·sin α =(d/2)/(sin( α/2)) ·sin α=(d/2)/(sin( α/2)) ·(2sin( α /2)·cos( α /2))/(sin( α/2))=d·cos( α /2)

MK=h_ромба=d·cos( α /2)

Радиус шара найдем как радиус окружности, вписанной в треугольник SMN


SN=SM=OK/cos β =(1/2)·d·cos( α /2)/cos β

r_шара=S _{Δ MSN}/p=(1/2)· MN·SN·sin β/( (1/2)·d·cos( α /2)/cos β +(1/2)·d·cos( α /2)/cos β +d·ctg( α /2))