Задача 73426 а) Решите уравнение tgx-sinx+cosx=1 б)...

sof

16 октября 2023 г. в 20:12

а) Решите уравнение tgx–sinx+cosx=1

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–4π; –5π/2] .

exponenta

16 октября 2023 г. в 20:17

[m]\frac{sinx}{cosx}-sinx+cosx-1=0[/m]

[m](\frac{sinx}{cosx}-sinx)+(cosx-1)=0[/m]


[m]sinx(\frac{1}{cosx}-1)+(cosx-1))=0[/m]

[m]sinx\cdot\frac{1-cosx}{cosx}-(1-cosx)=0[/m]

[m](1-cosx)(\frac{sinx}{cosx}-1)=0[/m]

[m](1-cosx)\frac{sinx-cosx}{cosx}=0[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}1-cosx=0\\cosx ≠ 0\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}sinx-cosx=0\\cosx ≠ 0\end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}cosx=1\\cosx ≠ 0\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}tgx=1\\cosx ≠ 0\end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}x=2πn, n ∈ Z\\cosx ≠ 0\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}x=\frac{π}{4}+πk, k ∈ Z\\cosx ≠ 0\end {matrix}\right.[/m]


О т в е т
a) [m]2πn, n ∈ Z;\frac{π}{4}+πk, k ∈ Z[/m]
О т в е т.
б)–4π ∈ [–4π;–5π/2]

Отбираем корни с помощью неравенства:

–4π ≤ 2πn ≤ –5π/2, n ∈ Z

Делим на π:

⇒ –4 ≤ 2n ≤ –5/2 ⇒ неравенство верно при n=–2

Находим корень
при n=–2
2π·(–2)=–4π

–4π ;–15π/4 ;– 11π/4 ∈ [–4π;–5π/2]





–4π ≤ [m]\frac{π}{4}[/m]+πk ≤ –5π/2, k ∈ Z ⇒–4 ≤ [m]\frac{1}{4}[/m]+k ≤ –5/2, k ∈ Z

Неравенство верно
при k=–3; k=–4

Находим эти корни
–4π ≤ [m]\frac{π}{4}[/m]+π· (–3) ≤ –5π/2, k ∈ Z
–4π ≤ [m]\frac{π}{4}[/m]+π· (–4) ≤ –5π/2, k ∈ Z

–15π/4 ;– 11π/4 ∈ [–4π;–5π/2]



Отбор корней помощью единичной окружности см на рис.