Задача 73203 Здравствуйте, можете помочь решить...
Условие
Тема: Интегралы
Решение
[m] ∫ (5-4x)dx=[/m] интеграл от суммы ( разности) равен сумме ( разности) интегралов:
[m]= ∫ 5dx- ∫ 4x dx=[/m] постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
[m]= 5∫ dx-4 ∫ xdx=[/m]
табличные интегралы:
[m]= 5x-4 \cdot \frac{x^2}{2}+C[/m]
2 способ
замена переменной
[m] ∫ (5-4x)dx=[/m]
[m]u=5-4x[/m] тогда
[m]du=(5-4x)`=(5-4x)`dx=-4dx[/m] ⇒ [m]dx=-\frac{du}{4}[/m]
[m] ∫ (5-4x)dx= ∫ u\cdot (-\frac{du}{4})=[/m] постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
[m]=-\frac{1}{4} ∫ u du=[/m]
табличный интеграл
[m]=-\frac{1}{4}\cdot \frac{u^2}{2}+C=[/m]
обратная замена
[m]=-\frac{1}{4}\cdot \frac{(5-4x)^2}{2}+C=[/m]
Ответы совпадают с точностью до константы
2)
2 способ
замена переменной
[m] ∫\frac{1}{2x+3}dx=[/m]
[m]u=2x+3[/m] тогда
[m]du=(2x+3)`=(2x+3)`dx=2dx[/m] ⇒ [m]dx=\frac{du}{2}[/m]
[m] ∫\frac{1}{2x+3}dx= ∫\frac{1}{u}\cdot \frac{du}{2}=[/m] постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
[m]=\frac{1}{2} ∫\frac{du}{2}=[/m]
табличный интеграл
[m]=\frac{1}{2}\cdot ln|u|+C=[/m]
обратная замена
[m]=\frac{1}{2}\cdot ln|2x+3|+C[/m]
5)
2 способ
замена переменной
[m] ∫\sqrt{5x-3}dx=[/m]
[m]u=5x-3[/m] тогда
[m]du=(5x-3)`=(5x-3)`dx=5dx[/m] ⇒ [m]dx=\frac{du}{5}[/m]
[m] ∫\sqrt{5x-3}dx= ∫\sqrt{u}\cdot \frac{du}{5}=[/m] постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
[m]=\frac{1}{5} ∫\sqrt{u}du=[/m]
табличный интеграл
[m]=\frac{1}{5}\cdot 2\sqrt{u}|+C=[/m]
обратная замена
[m]=\frac{2}{5}\cdot \sqrt{5x-3}+C[/m]
4)
[m] ∫\frac{3x^{4}-5x^{2}+7}{x}dx=[/m]
делим[i] почленно [/i]каждое слагаемое числителя на знаменатель:
[m] ∫ (\frac{3x^{4}}{x}- \frac{5x^{2}}{x} +\frac{7}{x}) dx=[/m]
интеграл от суммы равен сумме интегралов:
[m] =∫\frac{3x^{4}}{x}dx-∫ \frac{5x^{2}}{x}dx+ ∫ \frac{7}{x}dx=[/m]
[m] =3∫x^{3}dx-5∫ xdx+ ∫ \frac{7}{x}dx=[/m]
табличные интегралы
[m]=3\frac{x^{4}}{4} -5\frac{x^2}{2}+7ln|x|+C[/m]
2)
2 способ замена переменной
[m] \sqrt{3x}=t[/m]
Возводим в квадрат
[m]3x=t^2[/m]
[m]x=\frac{t^2}{3}[/m]
[m]dx=(\frac{t^2}{3})`dt[/m]
[m]dx=\frac{2}{3}tdt
[m] ∫ \frac{2x}{\sqrt{3x}+1}dx= ∫ \frac{2\cdot\frac{t^2}{3} }{t+1}\cdot \frac{2}{3}tdt=\frac{4}{9} ∫\frac{t^3}{t+1}dt [/m]
[i]неправильная дробь.[/i]
Выделяем [i]целую часть[/i]
[m] =\frac{4}{9} ∫\frac{t^3+1-1}{t+1}dt=\frac{4}{9} ∫\frac{(t^3+1)-1}{t+1}dt=\frac{4}{9} ∫(\frac{t^3+1}{t+1}-\frac{1}{t+1})dt= [/m]
[m] =\frac{4}{9} ∫(t^2-t+1-\frac{1}{t+1})dt= \frac{4}{9} \cdot (\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+t-ln|t+1|)+C[/m]
обратная замена
[m]=\frac{4}{9} \cdot (\frac{(\sqrt{3x})^3}{3}-\frac{(\sqrt{3x})^2}{2}+\sqrt{3x}-ln|\sqrt{3x}+1|)+C[/m]
