Задача 72448 а) Решите уравнение sqrt(x^3+4x^2+9)-3 =...
Условие
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-9/2; 7/5]
Решение
[m]\sqrt{x^3+4x^2+9}=x+3[/m]
Возводим обе части уравнения в квадрат при условии, что [m]x+3 ≥ 0[/m]
[m]x^3+4x^2+9=x^2+6x+9[/m]
[m]x^3+4x^2=x^2+6x[/m]
[m]x^3+4x^2-x^2-6x=0[/m]
[m]x^3+4x^2-x^2-6x=0[/m]
[m]x^3+3x^2-6x=0[/m]
[m]x(x^2+3x-6)=0[/m]
[m]x_{1}=0[/m] или [m]x^2+3x-6=0[/m] ⇒ D=3^2-4*(-6)=9+24=33
[m]x_{2}=\frac{-3+\sqrt{33}}{2}[/m] или [m]x_{3}=\frac{-3-\sqrt{33}}{2}[/m]
[m]\frac{-3-\sqrt{33}}{2}<-3[/m] ⇒ [m]x_{3}=\frac{-3-\sqrt{33}}{2}[/m] не является корнем данного уравнения
а) О т в е т. два корня :
[m]x_{1}=0[/m] [m]x_{2}=\frac{-3+\sqrt{33}}{2}[/m]
б)
[m]-\frac{9}{2}<0<\frac{7}{5}][/m] - верно ⇒
[m]0 ∈ [-\frac{9}{2};\frac{7}{5}] [/m]
[m]-\frac{9}{2}<\frac{-3+\sqrt{33}}{2}<\frac{7}{5}][/m] - верно, так как
[m]-\frac{9}{2}<\frac{-3+\sqrt{33}}{2}[/m] ⇒ [m]-9 < -3+\sqrt{33}[/m] ⇒ [m]-9 +3<\sqrt{33}[/m]- верно
и
[m]\frac{-3+\sqrt{33}}{2}<\frac{7}{5}][/m] ⇒ [m](-3+\sqrt{33})\cdot 5<7\cdot 2[/m] ⇒[m] 5\sqrt{33}<14+15[/m] ⇒ [m] 5\sqrt{33}<14+15[/m] ⇒ 25\cdot 33 < 29^2[/m] - верно
б)О т в е т. [m]0 ∈ [-\frac{9}{2};\frac{7}{5}] [/m] ;[m]\frac{-3+\sqrt{33}}{2}∈ [-\frac{9}{2};\frac{7}{5}][/m]
