Задача 72039 Исследовать на сходимость данные...

sparkle

13 июня 2023 г. в 15:11

Исследовать на сходимость данные числовые ряды

exponenta

13 июня 2023 г. в 19:11

★

б)
$∑^{ ∞} _{n=1} \frac{1}{n^{p}}$ – обобщенный гармонический ряд.

Сходится при p >1
Расходится при p ≤ 1

$∑^{ ∞} _{n=1} \frac{1}{\sqrt[3]{n+5}}$ эквивалентен ряду $∑^{ ∞} _{n=1} \frac{1}{\sqrt[3]{n}}$, который расходится

p=1/3 < 1

Данный ряд расходится по признаку сравнения с $∑^{ ∞} _{n=1} \frac{1}{\sqrt[3]{n}}$


в)

Ряд из модулей $∑^{ ∞} _{n=1} \frac{1}{n\sqrt{n}}$ сходится, как обобщенный гармонический ряд при p=3/2

Данный ряд сходится абсолютно

г)

Знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница

1) |a_n|=1/ln(n+1) → 0 при n → ∞

2)(a_n) ^∞ _n=1 монотонно убывающая последовательность

f(x)=1/ln(x+1) – монотонно убывающая функция

f`(x)=–1/ln²(x+1)< 0 при x >0

Ряд из модулей

$∑^{ ∞} _{n=1} \frac{1}{ln(n+1)}$ расходится, так как

$\frac{1}{n+1} < \frac{1}{ln(n+1)}$

Ряд $∑^{ ∞} _{n=1} \frac{1}{n+1}$ расходится как эквивалентный ряду $∑^{ ∞} _{n=1} \frac{1}{n}$

Данный ряд сходится условно


д) Ряд расходится. Не выполняется необходимое условие сходимости

Общий член ряда не стремится к 0


e)

Ряд расходится по признаку Даламбера

$lim_{n → ∞ } \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{(n+1)!}{7^{n+1}}}{\frac{n!}{7^{n}}}=\frac{1}{7}lim_{n → ∞ }(n+1) >1$


ж)

Ряд сходится по признаку Даламбера

$lim_{n → ∞ } \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{(n+1)^2}{5^{n+1}}}{\frac{n^2}{5^{n}}}=\frac{1}{5}lim_{n → ∞ }\frac{(n+1)^2}{n^2}=\frac{1}{5}\cdot 1=\frac{1}{5} <1$


з)

Ряд расходится по признаку Даламбера

$lim_{n → ∞ } \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=2 >1$