Задача 71747 Решить уравнение высшая математика, без...
Условие
(2xy+3)dy-y^2dx=0
Решение
Уравнение, сводящееся к однородному заменой переменной
[m] x=z[/m]
[m]y=z^{ λ }[/m]
[m]dx=dz[/m]
[m]dy= λ z^{ λ -1}dz[/m]
[m](2\cdot z\cdot z^{ λ }+3) λ z^{ λ -1}dz=(z^{ λ })^2 dz[/m]
[m]2 λz^{2 λ} +3 λ z^{ λ -1}=z^{2 λ }[/m]
[m](2 λ-1)z^{2 λ} =3 λ z^{ λ -1}[/m]
Приравниваем степени z
2 λ = λ -1
λ =-1
[i]Замена[/i]
[m] y=z^{-1} ⇒ dy=-z^{-2}dz[/m]
Уравнение принимает вид:
[m](2xz^{-1}+3)(-z^{-2}dz)=(z^{-1})^2dx[/m]
[m]-(2xz^{-1}+3)dz=dx[/m]
[m]-(2x+3z)dz=zdx[/m]
[m]z`=-\frac{z}{3z+2x}[/m]
Получили однородное уравнение первой степени
[m]z=ux[/m]
[m]z`=u`\cdot x+u\cdot x`[/m]
x`=1 ( так как х-независимая переменная)
[m]z`=u`\cdot x+u[/m]
[m]u`\cdot x+u=-\frac{u\cdot x}{3\cdot u\cdot x+2x}[/m]
[m]u`\cdot x=-\frac{u\cdot x}{3\cdot u\cdot x+2x}-u[/m]
[m]-u`\cdot x=\frac{u\cdot x+3\cdot u^2\cdot x+2x\cdot u}{3\cdot u\cdot x+2x}[/m]
[m]-u`\cdot x=\frac{(3u+3\cdot u^2)\cdot x}{x\cdot (3\cdot u+2)}[/m]
получили уравнение с разделяющимися переменными
[m]-xdu=\frac{3u^2+3u}{3u+2}dx[/m]
[m]-\frac{3u+2}{3u^2+3u}du=\frac{dx}{x}[/m]
Интегрируем:
[m]- ∫ \frac{3u+2}{3u^2+3u}du= ∫ \frac{dx}{x}[/m]
Раскладываем дробь на простейшие
[m]- \frac{1}{3}∫ (\frac{2}{u}+\frac{1}{u+1})du= ∫ \frac{dx}{x}[/m]
[m]- \frac{2 lnu}{3}- \frac{ln(u+1)}{3}=lnx+lnC[/m]
[m]u^{-\frac{2}{3}}\cdot (u+1)^{-\frac{1}{3}}=Cx[/m]
Обратный переход
[m]z=ux⇒ u=\frac{z}{x}[/m]
[m] y=z^{-1} ⇒ z=y^{-1}[/m]
[m]u=\frac{1}{xy}[/m]
[m](\frac{1}{xy})^{-\frac{2}{3}}\cdot (\frac{1}{xy}+1)^{-\frac{1}{3}}=Cx[/m]
